摘要：伊辛模型作为一种经典的物理模型，最早用于描述铁磁材料间的相互作用，现已广泛应用于解决复杂的组合优化问题。近年来，基于伊辛模型的量子计算技术迅速发展，衍生出多种伊辛机架构。本专题将详细介绍伊辛模型的基本原理及基于伊辛模型的相干伊辛机和量子退火两种专用量子计算机架构，探讨其在组合优化问题和量子计算领域中的前景。

 

伊辛模型综述

 

伊辛模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。

 

如图 1所示，在较低温度下，铁磁体由于自发磁化整体的磁矩（剩余磁矩）不为零，系统整体体现铁磁性；当温度高于特征温度时，整个系统的剩余磁矩降为零，系统体现为顺磁性，即磁性消失。伊辛模型假设铁磁物质是由一堆随机上下两个方向（对应原子自旋+1或-1）的磁针规则排列形成，相邻磁针之间由于能量约束而具有相互作用。环境热噪声的干扰会使磁针克服能量约束的相互作用，发生磁性的随机翻转，温度越高，系统熵值（对应系统随机无序度）越高，磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变。在超过临界温度（居里温度）后，大量无序的磁针在概率学上形成上下磁性相互抵消的平衡状态，整体系统对外界体现磁性消失。

 

图1铁磁性和温度的关系

 

模型表述

伊辛模型描述的为一系列具有相互作用的的单元（即自旋粒子σ，自旋为第i个自旋，自旋同理）构成的系统，系统中每一个自旋粒子都必须具有两种完全随机的可能状态（如+1与-1，或者向上与向下）。

 

自旋粒子之间存在相互作用（第i个自旋与第j个自旋之间相互作用为）, 如果两个相邻方格的自旋粒子状态一致（例如都是朝上），则系统的总能量减1单位，如果不同就加1单位。另外，外部场作用会长程影响每一个自旋，如外磁场作用（为对自旋i的磁场作用）赋予每个自旋i都具有一定的势能。我们定义系统的总哈密尔顿量（总能量）：

 

其中J为一个能量耦合常数；求和下标<i,j>表示对所有相邻的自旋粒子进行求和。我们可以看到，如果，则总能量就会减少J。h表示外界磁场的强度, 是一个固定参数，如果外界磁场向上h为正，否则为负。如果某个自旋粒子的方向与外场一致，则总能量减少一个单位。

 

举一个简单的例子来更好的理解，假设系统中仅有3个自旋粒子，它们彼此相连（虚线表示构成邻居关系）形成一个三角形，如图：

 

每个自旋粒子有+1,-1两种可能状态，那么所有的状态组合就包括：

 

 

这8种状态组合，每一个都对应一个唯一的能量值，即：

 

 

我们可以发现：如果系统中自旋粒子的相互之间以及与外场方向一致的话，系统的能量就低，在这个例子中，+1+1+1为能量最小的状态。

 

举一个实际生活中的例子来表示这种现象：一个村子中具有不同政治观点的村民，自旋粒子朝上或者朝下代表两种观点的村民，系统的能量相当于村民观点存在的冲突的数量。如果两个相邻的村民意见不一致，总冲突数就+1，否则就-1。而外场能量可以看作观点的媒体宣传效应,如果村民的观点与舆论宣传一致，则能量越低，因此也越和谐。

 

但是，系统的演化并不完全由总能量决定。由于自旋粒子处于噪声环境中，热涨落又会引起自旋粒子的状态随机反转。我们可以用温度T来衡量这种环境影响的随机性。T越高，则自旋粒子发生反转的概率就会越大。

 

因此，有两种力作用在自旋粒子上，一种力来源于自旋粒子邻居以及外场对它的影响，这种影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致，即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的扰动，它迫使自旋粒子无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是，每个自旋粒子就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象，假如温度T趋于0，则每个自旋粒子都会与外场相一致，那么，最终系统将处于全是+1或者全是-1的状态（取决于外场H是正还是负）。假如T特别高，而相互作用强度J特别小，则邻居间的作用可以忽略，每个自旋粒子都完全随机地取值。这样，整个伊辛模型就有两个外部给定的参数来表示环境的温度和磁场强度。

 

总结

伊辛模型已有近百年的历史，是研究大自然复杂系统的开创性模型之一。最初，它被用来描述晶体的磁性行为，随着时间的推移，统计学家和物理学家们发现，伊辛模型在无序相互作用的物理系统的相变过程中也具有普适性。任何具有相同的维数和对称性系统，不论它们的微观组成是原子、分子还是其他单元，都会在临界点经历一系列相似的的相变现象，当它们的特性可以用对称的二值如“上和下”、“+1和-1”来描述时，即可采用伊辛模型来描述。

 

基于伊辛模型的相关研究也催生了多项诺贝尔奖级的科学成果。如物理学家Kenneth Wilson在1971年基于伊辛模型的研究，成功解释了临界指数及普适性的问题，因此也获得了1982年的诺贝尔物理学奖。

 

由于伊辛模型能够将复杂的组合优化问题映射为物理系统的能量最小化问题，因而不仅在物理学领域产生深远影响，在计算科学、数学、人工智能等多个领域都得到广泛应用。

摘要：伊辛模型作为一种经典的物理模型，最早用于描述铁磁材料间的相互作用，现已广泛应用于解决复杂的组合优化问题。近年来，基于伊辛模型的量子计算技术迅速发展，衍生出多种伊辛机架构。本专题将详细介绍伊辛模型的基本原理及基于伊辛模型的相干伊辛机和量子退火两种专用量子计算机架构，探讨其在组合优化问题和量子计算领域中的前景。

 

伊辛模型综述

 

伊辛模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。

 

如图 1所示，在较低温度下，铁磁体由于自发磁化整体的磁矩（剩余磁矩）不为零，系统整体体现铁磁性；当温度高于特征温度时，整个系统的剩余磁矩降为零，系统体现为顺磁性，即磁性消失。伊辛模型假设铁磁物质是由一堆随机上下两个方向（对应原子自旋+1或-1）的磁针规则排列形成，相邻磁针之间由于能量约束而具有相互作用。环境热噪声的干扰会使磁针克服能量约束的相互作用，发生磁性的随机翻转，温度越高，系统熵值（对应系统随机无序度）越高，磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变。在超过临界温度（居里温度）后，大量无序的磁针在概率学上形成上下磁性相互抵消的平衡状态，整体系统对外界体现磁性消失。

 

图1铁磁性和温度的关系

 

模型表述

伊辛模型描述的为一系列具有相互作用的的单元（即自旋粒子σ，自旋为第i个自旋，自旋同理）构成的系统，系统中每一个自旋粒子都必须具有两种完全随机的可能状态（如+1与-1，或者向上与向下）。

 

自旋粒子之间存在相互作用（第i个自旋与第j个自旋之间相互作用为）, 如果两个相邻方格的自旋粒子状态一致（例如都是朝上），则系统的总能量减1单位，如果不同就加1单位。另外，外部场作用会长程影响每一个自旋，如外磁场作用（为对自旋i的磁场作用）赋予每个自旋i都具有一定的势能。我们定义系统的总哈密尔顿量（总能量）：

 

其中J为一个能量耦合常数；求和下标<i,j>表示对所有相邻的自旋粒子进行求和。我们可以看到，如果，则总能量就会减少J。h表示外界磁场的强度, 是一个固定参数，如果外界磁场向上h为正，否则为负。如果某个自旋粒子的方向与外场一致，则总能量减少一个单位。

 

举一个简单的例子来更好的理解，假设系统中仅有3个自旋粒子，它们彼此相连（虚线表示构成邻居关系）形成一个三角形，如图：

 

每个自旋粒子有+1,-1两种可能状态，那么所有的状态组合就包括：

 

 

这8种状态组合，每一个都对应一个唯一的能量值，即：

 

 

我们可以发现：如果系统中自旋粒子的相互之间以及与外场方向一致的话，系统的能量就低，在这个例子中，+1+1+1为能量最小的状态。

 

举一个实际生活中的例子来表示这种现象：一个村子中具有不同政治观点的村民，自旋粒子朝上或者朝下代表两种观点的村民，系统的能量相当于村民观点存在的冲突的数量。如果两个相邻的村民意见不一致，总冲突数就+1，否则就-1。而外场能量可以看作观点的媒体宣传效应,如果村民的观点与舆论宣传一致，则能量越低，因此也越和谐。

 

但是，系统的演化并不完全由总能量决定。由于自旋粒子处于噪声环境中，热涨落又会引起自旋粒子的状态随机反转。我们可以用温度T来衡量这种环境影响的随机性。T越高，则自旋粒子发生反转的概率就会越大。

 

因此，有两种力作用在自旋粒子上，一种力来源于自旋粒子邻居以及外场对它的影响，这种影响倾向于使得相邻的邻居彼此状态一致以及与外场尽量一致，即尽量使得系统的总能量达到最小。另外一种力则来源于环境噪声的扰动，它迫使自旋粒子无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是，每个自旋粒子就挣扎于这两种不同的力量之间。不难想象，假如温度T趋于0，则每个自旋粒子都会与外场相一致，那么，最终系统将处于全是+1或者全是-1的状态（取决于外场H是正还是负）。假如T特别高，而相互作用强度J特别小，则邻居间的作用可以忽略，每个自旋粒子都完全随机地取值。这样，整个伊辛模型就有两个外部给定的参数来表示环境的温度和磁场强度。

 

总结

伊辛模型已有近百年的历史，是研究大自然复杂系统的开创性模型之一。最初，它被用来描述晶体的磁性行为，随着时间的推移，统计学家和物理学家们发现，伊辛模型在无序相互作用的物理系统的相变过程中也具有普适性。任何具有相同的维数和对称性系统，不论它们的微观组成是原子、分子还是其他单元，都会在临界点经历一系列相似的的相变现象，当它们的特性可以用对称的二值如“上和下”、“+1和-1”来描述时，即可采用伊辛模型来描述。

 

基于伊辛模型的相关研究也催生了多项诺贝尔奖级的科学成果。如物理学家Kenneth Wilson在1971年基于伊辛模型的研究，成功解释了临界指数及普适性的问题，因此也获得了1982年的诺贝尔物理学奖。

 

由于伊辛模型能够将复杂的组合优化问题映射为物理系统的能量最小化问题，因而不仅在物理学领域产生深远影响，在计算科学、数学、人工智能等多个领域都得到广泛应用。