一、非线性规划模型

 

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

 

1.1 案例

 

投资决策问题：

某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i， i = 1,2,…,n个项目需花资金a_i元，并预计可收益b_i元。试选择最佳投资方案。

 

Q：为什么说这个题目是非线性的呢？

 

A：限制条件指明至少要投资一个项目，因此目标函数不能仅考虑收益最大，还要考虑花资金最小。

 

设置决策变量：

 

 

则，投资总额为，投资总收益为

 

限制条件：

 

(非线性)模型：

 

1.2 非线性规划的数学模型

 

 

在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值(或最小值）问题，只需要目标函数和约束条件其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

 

非线性规划在mathlab中的标准格式：

 

 

非线性规划在mathlab中的命令：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

 

x的返回值是决策向量x的取值，fval返回的是目标函数的取值，其中fun是M文件定义的目标函数。

x0是x的初始值。

A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax≤b，Aeq-x=beq，如果没有线性约束，则A=[]，b=[]，Aeq=[]，beq=[]。

lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[]，ub=[]。

nonlcon是用M文件定义的非线性约束函数c(x),ceq(x)。

options定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。

 

例题求解：

求解下列非线性规划问题。

 

 

(1)  编写M文件fun1.m定义目标函数

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

 

(2)  编写M函数fun2.m定义非线性约束条件（g为非线性约束不等式，h为非线性约束等式）

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];% 非线性不等式约束
 
h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3];% 非线性等式约束

 

(3)  编写主程序文件如下

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[];zeros(3,1),[],'fun2')

 

求得当x1=0.5522,x2=1.2033,x3=0.9478时，最小值y=10.6511。

 

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一、非线性规划模型

 

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

 

1.1 案例

 

投资决策问题：

某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i， i = 1,2,…,n个项目需花资金a_i元，并预计可收益b_i元。试选择最佳投资方案。

 

Q：为什么说这个题目是非线性的呢？

 

A：限制条件指明至少要投资一个项目，因此目标函数不能仅考虑收益最大，还要考虑花资金最小。

 

设置决策变量：

 

 

则，投资总额为，投资总收益为

 

限制条件：

 

(非线性)模型：

 

1.2 非线性规划的数学模型

 

 

在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值(或最小值）问题，只需要目标函数和约束条件其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

 

非线性规划在mathlab中的标准格式：

 

 

非线性规划在mathlab中的命令：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

 

x的返回值是决策向量x的取值，fval返回的是目标函数的取值，其中fun是M文件定义的目标函数。

x0是x的初始值。

A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax≤b，Aeq-x=beq，如果没有线性约束，则A=[]，b=[]，Aeq=[]，beq=[]。

lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[]，ub=[]。

nonlcon是用M文件定义的非线性约束函数c(x),ceq(x)。

options定义了优化参数，可以使用Matlab缺省的参数设置。

 

例题求解：

求解下列非线性规划问题。

 

 

(1)  编写M文件fun1.m定义目标函数

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

 

(2)  编写M函数fun2.m定义非线性约束条件（g为非线性约束不等式，h为非线性约束等式）

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];% 非线性不等式约束
 
h=[-x(1)-x(2)^2+2
x(2)+2*x(3)^2-3];% 非线性等式约束

 

(3)  编写主程序文件如下

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[];zeros(3,1),[],'fun2')

 

求得当x1=0.5522,x2=1.2033,x3=0.9478时，最小值y=10.6511。

 

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