量子力学中,相同的线性空间为什么既能表示成连续谱也能表示成分立谱?

Morris
2024-11-04 16:04:36

比如一维无限深方势阱能量有分立谱,坐标有连续谱。

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咔次薯霸 2024-11-15 15:39:34

这与算符的性质以及物理体系的边界条件有关。

分立谱和连续谱的不同来源于算符的本征值结构。分立谱通常出现在有限约束的系统中,比如粒子在势阱中束缚的情况,这导致能量本征值是离散的(例如一维无限深方势阱)。在这种情况下,能量的谱是离散的,因为粒子的波函数被限定在一个有限的空间内,只有特定的能量值满足边界条件。

而连续谱则通常出现在自由粒子或无边界的系统中,比如自由粒子的动量和位置。在这些情况下,物理量如位置或动量的本征值是连续的。这意味着粒子的动量和位置可以在连续的范围内取值,因此对应的算符(如位置算符)的谱是连续的。

即使能量谱是分立的,位置算符仍然可以具有连续谱,因为它的本征态并不是普通的函数,而是广义函数(例如狄拉克δ函数),这使得位置算符的谱呈现连续性。能量算符和位置算符作用于同一个希尔伯特空间,但它们的谱特性是不同的——能量具有分立谱,而位置具有连续谱。

因此,相同的线性空间中,能量可以有分立谱,而其他物理量如位置、动量等可以有连续谱,原因在于这些不同物理量所对应的算符具有不同的本征值结构。

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