文章主要内容：首先介绍量子退火算法基本原理，然后构建量子退火嵌入式ADMM算法，其中包含了形成增广拉格朗日目标函数、原始模型映射至量子退火模型、算法详细流程。

参考文献：《混合量子-经典算法的配电网灾后拓扑重构方法》

期刊：西安交通大学学报

作者：付炜1，谢海鹏1，王鹤峰2，陈晨1，别朝红1 
(1. 西安交通大学电气工程学院，710049，西安；2. 西安交通大学物理学院，710049，西安)  

一、量子退火算法与模型映射

        量子退火算法基于量子力学的绝热演化过程，利用量子隧穿效应替代模拟退火的搜索过程。量子退火机是目前最大的量子退火设备，展示了在诸如组合优化等重要领域中解决QUBO问题的能力。
        QUBO问题可用如下数学表达式描述

式中：xi∈{0,1} 是离散0/1决策变量；Qij,hi∈R，分别表示变量xi和xj的耦合权重系数和单变量xi的权重系数；和V分别表示连接边集合和顶点集合。

        借助简单的数学变换，QUBO模型可以等价映射为横向场伊辛（Ising）模型 

式中：为上旋/下旋变量，在数学上用±1代表其值；在量子退火机中,q_i表示偏移量（bias）；Lij表示偏置量（offset）。在量子退火计算机中*代表与间通过耦合器(coupler)相连接。

        描述量子退火过程的时变哈密顿量 为式，随着归一化退火时间的推移，初始哈密顿量H₀会逐步演化得到问题哈密顿的基态H_p

        _{其中，时变函数不断减小，不断增大，满足;分别表示作用于第i个量子比特的Pauli-x和Pauli-z算子。}

        _{对于上式的目标函数，可将此5变量的QUBO问题转变成Ising模型部署在D-Wave量子计算机中。例如，D-Wave当前最先进的Advantage 量子处理器（QPU），其底层设计为Pegasus拓扑结构，从变量到量子比特的映射示意图如图2所示。从变量到量子比特的映射过程称为次要嵌入（minor embedding），由于当前量子退火计算机量子比特有限的连接性，需要额外的单个或一系列耦合的量子比特（图2中编号364和3706两个量子比特对应x3），以支撑完成伊辛模型到量子可处理等效模型的转化。} 

        _{一般而言，借助量子系统实现量子退火算法解决组合优化问题的思路如附录A图A1所示，通过将优化问题重新构造成目标函数的形式，映射成Ising模型或其他可以嵌入在量子硬件上的模型，最后完成计算并展开结果分析。}

_{二、算法构建}

_{（1）形成增广拉格朗日函数。}

        _{交替方向乘子法被广泛地应用在信号处理、图像处理、机器、学习、工程计算等各个领域中，具有收敛速度快，收敛性能好的优势。式(20)为ADMM算法可应用求解的标准形式：} 

_{原始问题形成的增广拉格朗日函数为：}

（2）量子退火嵌入式ADMM算法流程。

        步骤1：初始化离散决策变量、连续决策变量，惩罚因子及最大迭代次数等QA-ADMM算法参数。
设置迭代次数k =1。

        步骤2：针对第k次迭代，求解只包含连续变量的凸子问题并更新迭代后的连续变量

        步骤3：针对第k次迭代，将形成的增广拉格朗日函数模型中离散部分分离出来，可表示为只包含离散变量的QUBO子问题格式，表达式如下 ：

        借助量子退火原理可将原始模型映射成Ising模型，

        将QUBO问题映射到哈密顿模型形式的目标函数、约束、惩罚项之后，构造下式 

所示的问题哈密顿量或总能量函数，进而利用量子退火算法寻找系统的最小能量，求得问题最优解后经转化可得离散变量优化结果。 

        步骤4：按照下式

计算第k次迭代的原始残差r^k和对偶残差s^k。式中r^k描述了离散问题和连续问题的收敛一致性程度，s^k描述了第k次迭代离散问题或连续问题两次迭代前后的收敛程度。

        依据下式 

中的收敛误差限判断算法是否满足收敛标准，若满足收敛条件，则迭代结束并输出优化结果；反之，执行步骤5。 
        步骤5：按照下式

更新对偶变量。 
步骤6：按照下式 

的惩罚因子自适应调节机制更新ρ，促进r^k和s^k的同步收敛，随后进行下一轮迭代。

文章主要内容：首先介绍量子退火算法基本原理，然后构建量子退火嵌入式ADMM算法，其中包含了形成增广拉格朗日目标函数、原始模型映射至量子退火模型、算法详细流程。

参考文献：《混合量子-经典算法的配电网灾后拓扑重构方法》

期刊：西安交通大学学报

作者：付炜1，谢海鹏1，王鹤峰2，陈晨1，别朝红1 
(1. 西安交通大学电气工程学院，710049，西安；2. 西安交通大学物理学院，710049，西安)  

一、量子退火算法与模型映射

        量子退火算法基于量子力学的绝热演化过程，利用量子隧穿效应替代模拟退火的搜索过程。量子退火机是目前最大的量子退火设备，展示了在诸如组合优化等重要领域中解决QUBO问题的能力。
        QUBO问题可用如下数学表达式描述

式中：xi∈{0,1} 是离散0/1决策变量；Qij,hi∈R，分别表示变量xi和xj的耦合权重系数和单变量xi的权重系数；和V分别表示连接边集合和顶点集合。

        借助简单的数学变换，QUBO模型可以等价映射为横向场伊辛（Ising）模型 

式中：为上旋/下旋变量，在数学上用±1代表其值；在量子退火机中,q_i表示偏移量（bias）；Lij表示偏置量（offset）。在量子退火计算机中*代表与间通过耦合器(coupler)相连接。

        描述量子退火过程的时变哈密顿量 为式，随着归一化退火时间的推移，初始哈密顿量H₀会逐步演化得到问题哈密顿的基态H_p

        _{其中，时变函数不断减小，不断增大，满足;分别表示作用于第i个量子比特的Pauli-x和Pauli-z算子。}

        _{对于上式的目标函数，可将此5变量的QUBO问题转变成Ising模型部署在D-Wave量子计算机中。例如，D-Wave当前最先进的Advantage 量子处理器（QPU），其底层设计为Pegasus拓扑结构，从变量到量子比特的映射示意图如图2所示。从变量到量子比特的映射过程称为次要嵌入（minor embedding），由于当前量子退火计算机量子比特有限的连接性，需要额外的单个或一系列耦合的量子比特（图2中编号364和3706两个量子比特对应x3），以支撑完成伊辛模型到量子可处理等效模型的转化。} 

        _{一般而言，借助量子系统实现量子退火算法解决组合优化问题的思路如附录A图A1所示，通过将优化问题重新构造成目标函数的形式，映射成Ising模型或其他可以嵌入在量子硬件上的模型，最后完成计算并展开结果分析。}

_{二、算法构建}

_{（1）形成增广拉格朗日函数。}

        _{交替方向乘子法被广泛地应用在信号处理、图像处理、机器、学习、工程计算等各个领域中，具有收敛速度快，收敛性能好的优势。式(20)为ADMM算法可应用求解的标准形式：} 

_{原始问题形成的增广拉格朗日函数为：}

（2）量子退火嵌入式ADMM算法流程。

        步骤1：初始化离散决策变量、连续决策变量，惩罚因子及最大迭代次数等QA-ADMM算法参数。
设置迭代次数k =1。

        步骤2：针对第k次迭代，求解只包含连续变量的凸子问题并更新迭代后的连续变量

        步骤3：针对第k次迭代，将形成的增广拉格朗日函数模型中离散部分分离出来，可表示为只包含离散变量的QUBO子问题格式，表达式如下 ：

        借助量子退火原理可将原始模型映射成Ising模型，

        将QUBO问题映射到哈密顿模型形式的目标函数、约束、惩罚项之后，构造下式 

所示的问题哈密顿量或总能量函数，进而利用量子退火算法寻找系统的最小能量，求得问题最优解后经转化可得离散变量优化结果。 

        步骤4：按照下式

计算第k次迭代的原始残差r^k和对偶残差s^k。式中r^k描述了离散问题和连续问题的收敛一致性程度，s^k描述了第k次迭代离散问题或连续问题两次迭代前后的收敛程度。

        依据下式 

中的收敛误差限判断算法是否满足收敛标准，若满足收敛条件，则迭代结束并输出优化结果；反之，执行步骤5。 
        步骤5：按照下式

更新对偶变量。 
步骤6：按照下式 

的惩罚因子自适应调节机制更新ρ，促进r^k和s^k的同步收敛，随后进行下一轮迭代。