组合优化      

组合优化（CO）领域在各行业中都有实际应用，包括私营和公共部门，在优化领域中占据重要地位。它是运筹学、计算机科学和分析学研究领域中最活跃的研究方向之一，因为研究者们致力于设计和测试解决现实世界CO问题的新方法。通常情况下，这些问题涉及在需要做出大量决策的情境下，做出明智的选择，每种决策会对应产生相应的目标函数值，比如成本或利润。在这些场景中找到良好的解决方案是非常困难的。传统的方法是根据手头问题的数学结构开发解算法，然而这种方法的缺点在于，实际应用的多样性需要创造多种解决技术，而每种解决技术在其原始预期用途之外的应用都受到限制。

QUBO模型的应用        

近年来，我们发现了一个被称为QUBO的数学公式，它是二次无约束二进制优化问题的首字母缩写。这一公式可以涵盖工业、科学和政府中发现的各种重要CO问题，正如Kochenberger等人(2014)和Anthony等人(2017)的研究所记载的那样。通过特殊且易于应用的重构技术，一旦将QUBO求解器置入QUBO框架中，就能有效解决许多重要问题。QUBO模型已成为量子计算领域量子退火和富士通数字退火的基础，并已成为神经形态计算的研究课题。借助这些联系，QUBO模型成为了D-Wave系统开发的量子计算机和IBM开发的神经形态计算机进行实验的核心。这些联系将QUBO模型与量子计算联系起来的新发现后果，正在由IBM、谷歌、亚马逊、微软、D-Wave和洛克希德马丁公司等组织在商业领域以及洛斯阿拉莫斯国家实验室、橡树岭国家实验室、劳伦斯利弗莫尔国家实验室和美国宇航局艾姆斯研究中心等公共部门的倡议中进行探索。经典和量子计算社区正在积累计算经验，这不仅突出了QUBO模型的潜力，而且还凸显了它作为传统建模和解决方案方法的有效替代方案。

QUBO模型

QUBO模型是一种用于解决优化问题的数学公式，其中约束条件可以通过将其转化为目标函数中的约束项来进行建模，从而实现无约束的形式。为了满足等式约束，我们可以通过添加约束项，并设置较大的惩罚系数P来保证约束条件的满足。对于不等式约束，我们可以引入松弛变量，将其转化为等式形式，并使用二进制表达方式进行建模。对于某些特定形式的约束条件，我们可以进行相应的转化操作。

标量惩罚项P在问题重新表述过程中的作用是确保约束条件的满足。它的数值可以根据领域知识和任务需求来设置，并不是唯一的。通常情况下，我们会对所有约束使用相同的惩罚值，但如果有合理的理由需要区分对待不同的约束，也可以使用不同的惩罚值。对于必须严格满足的约束（称为“硬”约束），惩罚值P必须足够大以排除任何违反该约束的情况。然而，对于一些“软”约束，即满足它们是可取的但允许轻微违反的约束，适度的惩罚值就足够了。选择合适的惩罚值很重要。如果惩罚值过大，会压制原始目标函数的信息，使解的质量难以区分，导致求解过程困难。而惩罚值过小，则可能导致搜索到不可行的解。一般来说，存在一个较大的范围内的合适惩罚值，可以得到良好的结果。可以通过对模型进行初步的思考来估计原始目标函数值，并将惩罚值取为该估计值的某个百分比（通常为75%到150%）作为起始值。最后，始终可以检查生成的解的可行性，并根据需要调整惩罚值和进一步的求解过程，以获得可接受的解决方案。这样可以确保约束条件得到满足，同时保持较好的求解性能。

QUBO模型介绍:数据离散化与二进制表达

对于高次问题高阶二值优化问题,存在用二次多项式难以表达的问题方案,对于高次的问题,比如x1x2x3,可以将x1x2替换为y,并添加约束项使得x1x2 =y从而将高次的问题转化为二次优化问题。

QUBO模型更便于建模，变量取值为{0,1}，数学形式为

CIM与lsing模型

CIM（Coherent Ising Machine，相干伊辛机）是一种基于简并光学参量振荡器（DOPO）的光量子计算机技术，用于解决组合优化问题。受到物理学的启发，CIM将组合优化问题转化为伊辛模型的基态搜索问题，从而加速寻找优化问题的解决方案。CIM的求解过程涉及将组合优化问题的矩阵输入CIM，并获取返回的最优解。CIM具有以下优势：通用的求解策略，不依赖于优化问题的特定结构和性质；能够在毫秒级别的时间内找到最优解。Ising模型可以用于CIM求解器直接求解。

伊辛模型(Ising Model)是一类描述物质相变的随机过程模型,σ为待求自旋变量， 取值为{+1，-1}，数学形式为：

Ising模型和qubo模型可以相互转化，变量代换：

通用0/1编程

工业和政府中的许多重要问题都可以用混合约束类型的0/1线性规划来建模。这种性质的一般问题可以用矩阵形式表示为二进制，其中根据需要引入松弛变量，将不等式约束转换为等式。给定这种形式的问题，可以使用变换将问题重新转换为QUBO形式作答。如前所述，不等式约束的问题可以通过引入松弛变量来处理，通过二进制展开，创建约束Ax = b的系统。

为了满足变换中要求的所有约束都是方程而不是不等式的条件，我们需要将第一和第三个约束转换为方程。为了实现这一点，我们使用包含松弛变量的二进制展开式。首先，我们需要估计松弛变量的上界，以确定在二进制展开式中需要多少二进制变量来表示松弛变量。通常，上界可以通过检查约束并估计松弛变量可能达到的最大值来确定。对于本文中的问题，我们分别将约束1和3的松弛变量命名为s1和s3，并且将它们的上界分别设定为3和6。因此，我们得到以下二进制展开式：

 其中x6、X7、X8、X9、x10为新的二元变量。注意，这些新变量的目标函数系数将等于零。包括这些松弛变量就给出了系统Ax = b，其中:

现在我们可以使用转换将我们的问题重新表述为一个QUBO实例。将惩罚添加到目标函数中得到

取P= 10，用QUBO格式重写得到最大 y=x'Qx加性常数为-900，矩阵为Q

求解max = xtQx得到非零值x1 =x4 =x5=x9=x10=1，y = 916。注意，第三个约束是宽松的。对加性常数进行调整后，它给出的目标函数值为16。或者，我们可以简单地在解x1 = x4= x5 = 1处对原始目标函数求值，得到16的目标函数值。备注:线性约束和有界整数变量中的任何问题都可以通过二进制展开转换为max y = xtQx。然而，在这样的应用中，根据数据的不同，Q矩阵的元素可能会变得不可接受地大，可能需要适当的缩放来缓解这个问题。

随着Alpha-QUBO求解器（2019年）的开发，人们正在积极努力缩小经典计算方法和量子计算方法之间的差距，以为这种混合系统创建高效的基础。这项工作为QUBO和QUBO相关应用在商业和学术研究环境中的广泛应用奠定了基础。最近，Glover和Kochenberger（2019）证明了QBA方法的强大能力。计算测试显示，Alpha-QUBO的一种改进版本，称为QUBO 2.0，可以在解决包含100到500个变量的QUBO问题时比主流量子计算系统Kerberos快三个数量级，并且能够处理涉及数千个变量的更大问题。另一种经典计算和量子计算的结合方法是量子近似优化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA），由Farhi等人于2014年引入。QAOA是一种混合变分算法，用于产生组合优化问题的近似解。最近，Zhou等人（2018）将QAOA方法应用于MaxCut（MC）问题，其中包括最大独立集（MIS）问题的一个变体。该研究声称该方法有可能挑战领先的经典算法。理论上，QAOA方法可以应用于比QUBO模型所涵盖的更多类型的组合优化问题，但目前QAOA研究主要集中在MC和MIS问题上，并且对于处理其他QUBO问题实例的时间范围尚未提供。需要注意的是，必须调整QAOA框架的参数以生成适用于不同类型问题的不同算法。这可能限制了该方法在实际中的适用性，需要进一步观察和研究。

Wang和Abdullah在2018年的研究中指出，尽管QAOA展示了所谓的“量子优越性”，但这并不一定意味着它在解决重要的组合优化问题（例如约束满足问题）上会比经典算法更有效。同时，QAOA在实际应用中的参数p值较大的潜在优势可能会因求解精度的下降而抵消。尽管QAOA激发了人们对它可能的优势的广泛研究，其实际潜力尚未明确。Kochenberger等人在2019年的工作中通过对一系列QUBO模型的计算测试，探讨了QAOA与经典优化方法在当前实现中的相对效果。目前，人们正在研究QUBO模型的有效解决方法及其在替代计算框架中的问题。

在无监督机器学习中使用QUBO: 聚类是无监督机器学习的一种重要形式，QUBO集划分模型提供了一种自然的聚类方法，并且与无监督机器学习有很好的关联。例如，CPP问题在机器学习领域非常受欢迎，因为它为相关聚类和模块化最大化提供了一个通用模型。Pudenz和Lidar在2013年展示了如何将基于QUBO的量子计算模型应用于无监督机器学习。O'Malley等人在2018年的研究中探讨了使用D-Wave量子退火器进行非负/二进制矩阵分解的相关应用。

在监督机器学习中使用QUBO: Schneidman等人在2006年提出了在监督机器学习中采用QUBO的建议。他们认为，从物理学的角度看，等效的Ising模型对于任何神经函数的表示都是有用的。因此，该模型在监督机器学习的统计神经模型中具有自然的作用。Hamilton等人在2018年的研究中讨论了在自旋玻璃网络、玻尔兹曼机、卷积神经网络和约束满足问题中使用神经形态处理单元和量子退火器等先进计算的潜力。

通过机器学习改进QUBO解决方案：开发学习特定模型实例含义的规则和策略在历史上就已经有了很长的历史。这些方法现在被广泛认为构成了机器学习领域一个可行且重要的部分。例如，Boros等人在2008年的研究中使用了屋顶对偶性和最大流量算法来提供有用的模型推断。Glover等人在2018年开发了一组逻辑测试，以学习QUBO应用程序中变量之间的关系，这在约一半的测试问题中实现了45%的大小减少，并且在10个案例中成功地修复了所有变量，准确地解决了这些问题。

总结来说，尽管QAOA和QUBO在机器学习中的应用还处于研究阶段，但它们展示了量子计算在解决复杂问题上的潜力和前景。

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本文转载自微信公众号：記多多爱钓鱼

组合优化      

组合优化（CO）领域在各行业中都有实际应用，包括私营和公共部门，在优化领域中占据重要地位。它是运筹学、计算机科学和分析学研究领域中最活跃的研究方向之一，因为研究者们致力于设计和测试解决现实世界CO问题的新方法。通常情况下，这些问题涉及在需要做出大量决策的情境下，做出明智的选择，每种决策会对应产生相应的目标函数值，比如成本或利润。在这些场景中找到良好的解决方案是非常困难的。传统的方法是根据手头问题的数学结构开发解算法，然而这种方法的缺点在于，实际应用的多样性需要创造多种解决技术，而每种解决技术在其原始预期用途之外的应用都受到限制。

QUBO模型的应用        

近年来，我们发现了一个被称为QUBO的数学公式，它是二次无约束二进制优化问题的首字母缩写。这一公式可以涵盖工业、科学和政府中发现的各种重要CO问题，正如Kochenberger等人(2014)和Anthony等人(2017)的研究所记载的那样。通过特殊且易于应用的重构技术，一旦将QUBO求解器置入QUBO框架中，就能有效解决许多重要问题。QUBO模型已成为量子计算领域量子退火和富士通数字退火的基础，并已成为神经形态计算的研究课题。借助这些联系，QUBO模型成为了D-Wave系统开发的量子计算机和IBM开发的神经形态计算机进行实验的核心。这些联系将QUBO模型与量子计算联系起来的新发现后果，正在由IBM、谷歌、亚马逊、微软、D-Wave和洛克希德马丁公司等组织在商业领域以及洛斯阿拉莫斯国家实验室、橡树岭国家实验室、劳伦斯利弗莫尔国家实验室和美国宇航局艾姆斯研究中心等公共部门的倡议中进行探索。经典和量子计算社区正在积累计算经验，这不仅突出了QUBO模型的潜力，而且还凸显了它作为传统建模和解决方案方法的有效替代方案。

QUBO模型

QUBO模型是一种用于解决优化问题的数学公式，其中约束条件可以通过将其转化为目标函数中的约束项来进行建模，从而实现无约束的形式。为了满足等式约束，我们可以通过添加约束项，并设置较大的惩罚系数P来保证约束条件的满足。对于不等式约束，我们可以引入松弛变量，将其转化为等式形式，并使用二进制表达方式进行建模。对于某些特定形式的约束条件，我们可以进行相应的转化操作。

标量惩罚项P在问题重新表述过程中的作用是确保约束条件的满足。它的数值可以根据领域知识和任务需求来设置，并不是唯一的。通常情况下，我们会对所有约束使用相同的惩罚值，但如果有合理的理由需要区分对待不同的约束，也可以使用不同的惩罚值。对于必须严格满足的约束（称为“硬”约束），惩罚值P必须足够大以排除任何违反该约束的情况。然而，对于一些“软”约束，即满足它们是可取的但允许轻微违反的约束，适度的惩罚值就足够了。选择合适的惩罚值很重要。如果惩罚值过大，会压制原始目标函数的信息，使解的质量难以区分，导致求解过程困难。而惩罚值过小，则可能导致搜索到不可行的解。一般来说，存在一个较大的范围内的合适惩罚值，可以得到良好的结果。可以通过对模型进行初步的思考来估计原始目标函数值，并将惩罚值取为该估计值的某个百分比（通常为75%到150%）作为起始值。最后，始终可以检查生成的解的可行性，并根据需要调整惩罚值和进一步的求解过程，以获得可接受的解决方案。这样可以确保约束条件得到满足，同时保持较好的求解性能。

QUBO模型介绍:数据离散化与二进制表达

对于高次问题高阶二值优化问题,存在用二次多项式难以表达的问题方案,对于高次的问题,比如x1x2x3,可以将x1x2替换为y,并添加约束项使得x1x2 =y从而将高次的问题转化为二次优化问题。

QUBO模型更便于建模，变量取值为{0,1}，数学形式为

CIM与lsing模型

CIM（Coherent Ising Machine，相干伊辛机）是一种基于简并光学参量振荡器（DOPO）的光量子计算机技术，用于解决组合优化问题。受到物理学的启发，CIM将组合优化问题转化为伊辛模型的基态搜索问题，从而加速寻找优化问题的解决方案。CIM的求解过程涉及将组合优化问题的矩阵输入CIM，并获取返回的最优解。CIM具有以下优势：通用的求解策略，不依赖于优化问题的特定结构和性质；能够在毫秒级别的时间内找到最优解。Ising模型可以用于CIM求解器直接求解。

伊辛模型(Ising Model)是一类描述物质相变的随机过程模型,σ为待求自旋变量， 取值为{+1，-1}，数学形式为：

Ising模型和qubo模型可以相互转化，变量代换：

通用0/1编程

工业和政府中的许多重要问题都可以用混合约束类型的0/1线性规划来建模。这种性质的一般问题可以用矩阵形式表示为二进制，其中根据需要引入松弛变量，将不等式约束转换为等式。给定这种形式的问题，可以使用变换将问题重新转换为QUBO形式作答。如前所述，不等式约束的问题可以通过引入松弛变量来处理，通过二进制展开，创建约束Ax = b的系统。

为了满足变换中要求的所有约束都是方程而不是不等式的条件，我们需要将第一和第三个约束转换为方程。为了实现这一点，我们使用包含松弛变量的二进制展开式。首先，我们需要估计松弛变量的上界，以确定在二进制展开式中需要多少二进制变量来表示松弛变量。通常，上界可以通过检查约束并估计松弛变量可能达到的最大值来确定。对于本文中的问题，我们分别将约束1和3的松弛变量命名为s1和s3，并且将它们的上界分别设定为3和6。因此，我们得到以下二进制展开式：

 其中x6、X7、X8、X9、x10为新的二元变量。注意，这些新变量的目标函数系数将等于零。包括这些松弛变量就给出了系统Ax = b，其中:

现在我们可以使用转换将我们的问题重新表述为一个QUBO实例。将惩罚添加到目标函数中得到

取P= 10，用QUBO格式重写得到最大 y=x'Qx加性常数为-900，矩阵为Q

求解max = xtQx得到非零值x1 =x4 =x5=x9=x10=1，y = 916。注意，第三个约束是宽松的。对加性常数进行调整后，它给出的目标函数值为16。或者，我们可以简单地在解x1 = x4= x5 = 1处对原始目标函数求值，得到16的目标函数值。备注:线性约束和有界整数变量中的任何问题都可以通过二进制展开转换为max y = xtQx。然而，在这样的应用中，根据数据的不同，Q矩阵的元素可能会变得不可接受地大，可能需要适当的缩放来缓解这个问题。

随着Alpha-QUBO求解器（2019年）的开发，人们正在积极努力缩小经典计算方法和量子计算方法之间的差距，以为这种混合系统创建高效的基础。这项工作为QUBO和QUBO相关应用在商业和学术研究环境中的广泛应用奠定了基础。最近，Glover和Kochenberger（2019）证明了QBA方法的强大能力。计算测试显示，Alpha-QUBO的一种改进版本，称为QUBO 2.0，可以在解决包含100到500个变量的QUBO问题时比主流量子计算系统Kerberos快三个数量级，并且能够处理涉及数千个变量的更大问题。另一种经典计算和量子计算的结合方法是量子近似优化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA），由Farhi等人于2014年引入。QAOA是一种混合变分算法，用于产生组合优化问题的近似解。最近，Zhou等人（2018）将QAOA方法应用于MaxCut（MC）问题，其中包括最大独立集（MIS）问题的一个变体。该研究声称该方法有可能挑战领先的经典算法。理论上，QAOA方法可以应用于比QUBO模型所涵盖的更多类型的组合优化问题，但目前QAOA研究主要集中在MC和MIS问题上，并且对于处理其他QUBO问题实例的时间范围尚未提供。需要注意的是，必须调整QAOA框架的参数以生成适用于不同类型问题的不同算法。这可能限制了该方法在实际中的适用性，需要进一步观察和研究。

Wang和Abdullah在2018年的研究中指出，尽管QAOA展示了所谓的“量子优越性”，但这并不一定意味着它在解决重要的组合优化问题（例如约束满足问题）上会比经典算法更有效。同时，QAOA在实际应用中的参数p值较大的潜在优势可能会因求解精度的下降而抵消。尽管QAOA激发了人们对它可能的优势的广泛研究，其实际潜力尚未明确。Kochenberger等人在2019年的工作中通过对一系列QUBO模型的计算测试，探讨了QAOA与经典优化方法在当前实现中的相对效果。目前，人们正在研究QUBO模型的有效解决方法及其在替代计算框架中的问题。

在无监督机器学习中使用QUBO: 聚类是无监督机器学习的一种重要形式，QUBO集划分模型提供了一种自然的聚类方法，并且与无监督机器学习有很好的关联。例如，CPP问题在机器学习领域非常受欢迎，因为它为相关聚类和模块化最大化提供了一个通用模型。Pudenz和Lidar在2013年展示了如何将基于QUBO的量子计算模型应用于无监督机器学习。O'Malley等人在2018年的研究中探讨了使用D-Wave量子退火器进行非负/二进制矩阵分解的相关应用。

在监督机器学习中使用QUBO: Schneidman等人在2006年提出了在监督机器学习中采用QUBO的建议。他们认为，从物理学的角度看，等效的Ising模型对于任何神经函数的表示都是有用的。因此，该模型在监督机器学习的统计神经模型中具有自然的作用。Hamilton等人在2018年的研究中讨论了在自旋玻璃网络、玻尔兹曼机、卷积神经网络和约束满足问题中使用神经形态处理单元和量子退火器等先进计算的潜力。

通过机器学习改进QUBO解决方案：开发学习特定模型实例含义的规则和策略在历史上就已经有了很长的历史。这些方法现在被广泛认为构成了机器学习领域一个可行且重要的部分。例如，Boros等人在2008年的研究中使用了屋顶对偶性和最大流量算法来提供有用的模型推断。Glover等人在2018年开发了一组逻辑测试，以学习QUBO应用程序中变量之间的关系，这在约一半的测试问题中实现了45%的大小减少，并且在10个案例中成功地修复了所有变量，准确地解决了这些问题。

总结来说，尽管QAOA和QUBO在机器学习中的应用还处于研究阶段，但它们展示了量子计算在解决复杂问题上的潜力和前景。

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本文转载自微信公众号：記多多爱钓鱼