1.前言：启发式算法

模拟退火算法是一个经典的启发式算法，也被称为智能算法。他们不是数学，而是含有更贴合人类解决实际问题思想的方法。因此某类启发式算法，也只能针对解决特定的问题。而想要从数学的角度去解决普适的数学问题，那只能依靠精确求解算法了。

但相比与在解空间中各种操作的精确求解算法，启发式算法更加简单易懂，适合初学者理解数值计算方法。

经典的启发式算法包括：模拟退火、遗传算法，粒子群算法，蚁群算法，禁忌搜索。今天介绍模拟退火算法的原理及python应用。

2.退火：锻造的智慧

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。广义上说，退火是一种对材料的热处理工艺。(From:百度百科)

而退火的目的是为了让金属材料拥有更好的韧性，为后续加工做准备。

在固体升温时，内能增大，分子运动加剧，在高温时，金属原子有更大的“活力”运动到更“优势”的位置，随着温度的降低，这种“活力”将下降，不过温度依旧较高，原子仍然有可能会向其他位置尝试运动，哪怕这个位置的“优势”不比之前，随着温度越来越低，这种“活力”也会下降，最终原子会在他们认为最优的地方停留。相比于锻造之前，金属内部原子的位置进行了优化。

在数学问题中，退火的思想可以避免我们陷入局部最优，从而有一定概率迈向全局最优。

3.模拟退火的效果与目的

结合以上对金属退火的描以及他与数学的联系，我们可以举例简单说明模拟退火在解决数学问题中的效果。假设某最大化问题，我们给出一个初始解x₀，其对应值y₀。

在基本的对领域搜索的思想上，期望得到值更大的解。

具体操作如下：

(1)在向左或向右的邻域中移动初始解x₀，得到x₁

(2)计算x₁对应函数值y₁，比较y₁与y₀的值

(3)若y₁>y₀，则更新x₁为当前解，否则不更新

重复以上步骤，在若干次迭代后，可以获得较优的解，但是很明显，在基本的邻域搜索思想下，我们很容易会在某个较优的地方停留，而无法达到全局最优。

此时，模拟退火就可以发挥作用：正如金属原子在高温“活力”较大时愿意向其他未必“优势”的位置尝试移动一样，我们也希望数学问题中解在局部最优时仍然会在邻域中搜索其他解。从而有一定概率，找到更优的解，而跳出局部最优。

此时，模拟退火就可以发挥作用：正如金属原子在高温“活力”较大时愿意向其他未必“优势”的位置尝试移动一样，我们也希望数学问题中解在局部最优时仍然会在邻域中搜索其他解。从而有一定概率，找到更优的解（如x₇），而跳出局部最优。

当然，这种“活力”也不能一直保持，否则有可能解达到最优后仍然会在邻域中搜索，从而错过最优。（如x₁₀）

这是一场赌博。而数学模型可以满足这种需求

 

4.模拟退火的数学原理

在用数学描述模拟退火之前，我们先简单梳理一下基本需求：

(1)如果当前解较上次迭代解解更优，则更新解为当前解

(2)在高温时，如果当前解的质量没有上次迭代解更优，也有很大概率会更新解为当前解

(3)在高温时，如果当前解的质量没有上次迭代解更优，则更新概率极低

为了实现以上需求，得到了如下模型，以实现模拟退火。

这里p为更新解的概率，以最大化问题为例，毫无疑问，当当前解的质量更优时，会更新解为当前解。符合需求1。

结合e**x的图像我们可以发现，当温度T较高时，即使f(n+1)<f(n)，既当前解质量不如上次迭代解时，仍然有很大概率会更新解为当前解。符合需求2。但是当温度T较低时，这一概率将会趋近于0，而避免错过最优，符合需求3。

5.应用

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条访问所有城市并返回起点的最短路径。由于TSP是一个NP-hard问题，通常使用启发式算法或近似算法来解决。

我们给定城市坐标，随机城市访问顺序序列得到初始解，通过交替序列中n个元素实现对初始解邻域的搜索，结合模拟退火的思想进行迭代。具体算法流程如下。

设置最大迭代次数N=100，最低温度T=0.1，初始温度T=1000000，迭代57次得到最优解。

算法核心代码部分如下。

#模拟退火循环

now_iteration=1#初始化迭代次数

max_iteration=100#最大迭代次数

temperature=1000000#初始温度

min_temperature=0.1#最小温度

path_list=[path]

distance_list=[distance]



while now_iteration<=max_iteration and temperature>min_temperature:

    path_update = copy.deepcopy(path)

    # 进行路径解的邻域搜索 每次替换三个解元素

    path_update = Get_test_path(path_update, 3)

    # 计算邻域搜索后的值

    distance_update = path_distance(path_update, distance_matrix)

    # 模拟退火判断是否接受

    change_update=0#初始化概率

    if distance_update<distance:

change_update=1

    else:change_update=math.e**((distance-distance_update)/(1*temperature))#模拟退火核心函数

    #随机生成一个0-1之间的数代表接受的可能性

    update_value = random.random()

    if update_value<=change_update:

        path=path_update

        distance=distance_update

    else:

        path=path

        distance=distance

    #记录结果

    path_list.append(path)

    distance_list.append(distance)

    #更新温度与迭代次数

    print("迭代次数：{}".format(now_iteration))

    print("当前温度：{}".format(temperature))

    print("当前最优路径：{}".format(path))

    print("当前最优值：{}".format(distance))

    now_iteration=now_iteration+1

    temperature=0.75*temperature

    #播报结果

6.总结：尾声

模拟退火是一场概率的游戏，运行前期温度高，接受其他解的概率大，更有机会跳出局部最优解，而在温度降低的过程中接近最优解。

正如人生一样，年轻时不要陷入自己的舒适区，要在尚有活力的年华勇敢闯一闯，多学习多拼搏，运行前期温度高，接受其他解的概率大，更有机会跳出局部最优解，而在温度降低的过程中接近最优解。

---

本文转载自微信公众号：平潮的奇妙星球 

1.前言：启发式算法

模拟退火算法是一个经典的启发式算法，也被称为智能算法。他们不是数学，而是含有更贴合人类解决实际问题思想的方法。因此某类启发式算法，也只能针对解决特定的问题。而想要从数学的角度去解决普适的数学问题，那只能依靠精确求解算法了。

但相比与在解空间中各种操作的精确求解算法，启发式算法更加简单易懂，适合初学者理解数值计算方法。

经典的启发式算法包括：模拟退火、遗传算法，粒子群算法，蚁群算法，禁忌搜索。今天介绍模拟退火算法的原理及python应用。

2.退火：锻造的智慧

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。广义上说，退火是一种对材料的热处理工艺。(From:百度百科)

而退火的目的是为了让金属材料拥有更好的韧性，为后续加工做准备。

在固体升温时，内能增大，分子运动加剧，在高温时，金属原子有更大的“活力”运动到更“优势”的位置，随着温度的降低，这种“活力”将下降，不过温度依旧较高，原子仍然有可能会向其他位置尝试运动，哪怕这个位置的“优势”不比之前，随着温度越来越低，这种“活力”也会下降，最终原子会在他们认为最优的地方停留。相比于锻造之前，金属内部原子的位置进行了优化。

在数学问题中，退火的思想可以避免我们陷入局部最优，从而有一定概率迈向全局最优。

3.模拟退火的效果与目的

结合以上对金属退火的描以及他与数学的联系，我们可以举例简单说明模拟退火在解决数学问题中的效果。假设某最大化问题，我们给出一个初始解x₀，其对应值y₀。

在基本的对领域搜索的思想上，期望得到值更大的解。

具体操作如下：

(1)在向左或向右的邻域中移动初始解x₀，得到x₁

(2)计算x₁对应函数值y₁，比较y₁与y₀的值

(3)若y₁>y₀，则更新x₁为当前解，否则不更新

重复以上步骤，在若干次迭代后，可以获得较优的解，但是很明显，在基本的邻域搜索思想下，我们很容易会在某个较优的地方停留，而无法达到全局最优。

此时，模拟退火就可以发挥作用：正如金属原子在高温“活力”较大时愿意向其他未必“优势”的位置尝试移动一样，我们也希望数学问题中解在局部最优时仍然会在邻域中搜索其他解。从而有一定概率，找到更优的解，而跳出局部最优。

此时，模拟退火就可以发挥作用：正如金属原子在高温“活力”较大时愿意向其他未必“优势”的位置尝试移动一样，我们也希望数学问题中解在局部最优时仍然会在邻域中搜索其他解。从而有一定概率，找到更优的解（如x₇），而跳出局部最优。

当然，这种“活力”也不能一直保持，否则有可能解达到最优后仍然会在邻域中搜索，从而错过最优。（如x₁₀）

这是一场赌博。而数学模型可以满足这种需求

 

4.模拟退火的数学原理

在用数学描述模拟退火之前，我们先简单梳理一下基本需求：

(1)如果当前解较上次迭代解解更优，则更新解为当前解

(2)在高温时，如果当前解的质量没有上次迭代解更优，也有很大概率会更新解为当前解

(3)在高温时，如果当前解的质量没有上次迭代解更优，则更新概率极低

为了实现以上需求，得到了如下模型，以实现模拟退火。

这里p为更新解的概率，以最大化问题为例，毫无疑问，当当前解的质量更优时，会更新解为当前解。符合需求1。

结合e**x的图像我们可以发现，当温度T较高时，即使f(n+1)<f(n)，既当前解质量不如上次迭代解时，仍然有很大概率会更新解为当前解。符合需求2。但是当温度T较低时，这一概率将会趋近于0，而避免错过最优，符合需求3。

5.应用

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条访问所有城市并返回起点的最短路径。由于TSP是一个NP-hard问题，通常使用启发式算法或近似算法来解决。

我们给定城市坐标，随机城市访问顺序序列得到初始解，通过交替序列中n个元素实现对初始解邻域的搜索，结合模拟退火的思想进行迭代。具体算法流程如下。

设置最大迭代次数N=100，最低温度T=0.1，初始温度T=1000000，迭代57次得到最优解。

算法核心代码部分如下。

#模拟退火循环

now_iteration=1#初始化迭代次数

max_iteration=100#最大迭代次数

temperature=1000000#初始温度

min_temperature=0.1#最小温度

path_list=[path]

distance_list=[distance]



while now_iteration<=max_iteration and temperature>min_temperature:

    path_update = copy.deepcopy(path)

    # 进行路径解的邻域搜索 每次替换三个解元素

    path_update = Get_test_path(path_update, 3)

    # 计算邻域搜索后的值

    distance_update = path_distance(path_update, distance_matrix)

    # 模拟退火判断是否接受

    change_update=0#初始化概率

    if distance_update<distance:

change_update=1

    else:change_update=math.e**((distance-distance_update)/(1*temperature))#模拟退火核心函数

    #随机生成一个0-1之间的数代表接受的可能性

    update_value = random.random()

    if update_value<=change_update:

        path=path_update

        distance=distance_update

    else:

        path=path

        distance=distance

    #记录结果

    path_list.append(path)

    distance_list.append(distance)

    #更新温度与迭代次数

    print("迭代次数：{}".format(now_iteration))

    print("当前温度：{}".format(temperature))

    print("当前最优路径：{}".format(path))

    print("当前最优值：{}".format(distance))

    now_iteration=now_iteration+1

    temperature=0.75*temperature

    #播报结果

6.总结：尾声

模拟退火是一场概率的游戏，运行前期温度高，接受其他解的概率大，更有机会跳出局部最优解，而在温度降低的过程中接近最优解。

正如人生一样，年轻时不要陷入自己的舒适区，要在尚有活力的年华勇敢闯一闯，多学习多拼搏，运行前期温度高，接受其他解的概率大，更有机会跳出局部最优解，而在温度降低的过程中接近最优解。

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本文转载自微信公众号：平潮的奇妙星球