摘要：背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP-Complete问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

背包问题早期的研究可追溯到1897年，数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig，1884-1956）提出如何包装最有价值或有用的物品而不会超载行李的问题。使用传统的计算机算法来解决这个问题时，解决问题所需的时间随着问题规模变大将呈指数级增长。

因此，对于大规模的问题，需要使用更高效的算法、近似算法或其他有效的工具来解决。背包算法一般提法是：一位旅行者携带背包去登山，已知他所能承受的背包重量限度为akg，现有n种物品可供他选择装入背包，第i种物品的单件重量为aikg，其价值（可以是表明本物品对登山的重要性的数量指标）是携带数量xi的函数ci(xi)(i=1,2,...,n)，问旅行者应如何选择携带各种物品的件数，以使总价值最大。相似问题经常出现在商业、组合数学，项目选择，资本预算，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

目前，许多背包问题的理论研究已经广泛应用在现实生活中，帮助大量面向应用程序的研究人员与从业者寻找更好、更快的解决方案来解决巨大的问题。通常，背包问题是更复杂的组合问题的子问题的优化问题，大多数需要选择某些给定的子集来获得利润总额最大化的项目，而分配的总重量不超过背包的容量。

背包问题在现实生活中的应用包括财务建模、生产和库存管理系统、分层抽样、制造中的排队网络模型设计以及制造中的流量过载控制电信系统。其他应用领域包括产量管理、航空公司、酒店和租赁机构、大学招生、质量适应和交互式多媒体系统的准入控制、货物装载、资本预算、削减库存问题，以及巨大的分布式计算机处理分配系统。

问题描述

背包问题是基本的组合优化问题，我们引入这个背包问题的二次版本进行分析，二次指物品之间的选择关系会影响物品的价值取值，即二次背包问题（Quadratic Knapsack Problem），该问题是经典的NP-Hard问题之一。

建模思路

首先给出二次背包问题的混合整数规划模型

其中xj表示是否选择物品j，xj=1表示选择，否则表示不选择，vij是物品i,j的交互价值，aj为物品j的体积，b为背包的容量限制。我们引入惩罚系数P和m+1个0/1松弛变量yk,k∈{0,...,m}将模型转写为QUBO模型。

首先将不等式约束配平得到式（2）

将式（2）平方后乘上惩罚系数即可以转为无约束的表达，得到式（3），即该问题的QUBO模型

我们用下面的例子来进一步分析。

其中式（5）为不等式约束，举例而言，如不等式a-b<0可以通过引入辅助变量c转化为等式a-b+c=0,c>0，其中c也叫做松弛变量，我们引入辅助松弛0/1变量x5,x6来配平式（5）。

（6）

因此，我们得到QUBO模型为：

 

我们取P=10，同时根据x2=x（x为0/1变量）的特性，我们可以化简式子，舍去常数项2560后，我们得到QUBO模型的矩阵表达：

（8）

其中Q矩阵为：

求解这个QUBO模型，我们可以得到最优解x1=x3=x4=1,x2=x5=x6=0,y=-2588。

问题拓展

背包问题是经典的NP-hard问题，在数学、计算机科学、物理学等领域都有应用。该问题有多个扩展和变种，其中一些常见的包括：

多重背包问题（Multiple Knapsack Problem）：在多重背包问题中，每种物品有多个可用的副本，而不仅仅是一个。每个物品的数量限制可能不同，目标是选择物品的副本来最大化总价值。

无界背包问题（Unbounded Knapsack Problem）：在无界背包问题中，每种物品有无限多个可用的副本。目标是选择物品的副本来最大化总价值。

分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）：在分数背包问题中，物品可以被分割成任意比例，可以选择部分物品放入背包中。目标是选择物品的比例来最大化总价值。

有约束背包问题（Constrained Knapsack Problem）：在有约束背包问题中，除了背包容量限制外，还存在其他约束条件，如物品之间的依赖关系、物品的数量限制等。目标是在满足所有约束条件的前提下，选择物品来最大化总价值。

参考资料：

[1] Glover, Fred, Kochenberger, Gary, Du, Yu. Quantum Bridge Analytics I: a tutorial on formulating and using QUBO models[J]. 4OR: Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies,2019,17(4):335-371. DOI:10.1007/s10288-019-00424-y.

[2] Dantzig T .T. Dantzig.Number; the Language of Science[J].The Economic Journal, 1930(40-160).

[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98

 

 

摘要：背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP-Complete问题。问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

背包问题早期的研究可追溯到1897年，数学家托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig，1884-1956）提出如何包装最有价值或有用的物品而不会超载行李的问题。使用传统的计算机算法来解决这个问题时，解决问题所需的时间随着问题规模变大将呈指数级增长。

因此，对于大规模的问题，需要使用更高效的算法、近似算法或其他有效的工具来解决。背包算法一般提法是：一位旅行者携带背包去登山，已知他所能承受的背包重量限度为akg，现有n种物品可供他选择装入背包，第i种物品的单件重量为aikg，其价值（可以是表明本物品对登山的重要性的数量指标）是携带数量xi的函数ci(xi)(i=1,2,...,n)，问旅行者应如何选择携带各种物品的件数，以使总价值最大。相似问题经常出现在商业、组合数学，项目选择，资本预算，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

目前，许多背包问题的理论研究已经广泛应用在现实生活中，帮助大量面向应用程序的研究人员与从业者寻找更好、更快的解决方案来解决巨大的问题。通常，背包问题是更复杂的组合问题的子问题的优化问题，大多数需要选择某些给定的子集来获得利润总额最大化的项目，而分配的总重量不超过背包的容量。

背包问题在现实生活中的应用包括财务建模、生产和库存管理系统、分层抽样、制造中的排队网络模型设计以及制造中的流量过载控制电信系统。其他应用领域包括产量管理、航空公司、酒店和租赁机构、大学招生、质量适应和交互式多媒体系统的准入控制、货物装载、资本预算、削减库存问题，以及巨大的分布式计算机处理分配系统。

问题描述

背包问题是基本的组合优化问题，我们引入这个背包问题的二次版本进行分析，二次指物品之间的选择关系会影响物品的价值取值，即二次背包问题（Quadratic Knapsack Problem），该问题是经典的NP-Hard问题之一。

建模思路

首先给出二次背包问题的混合整数规划模型

其中xj表示是否选择物品j，xj=1表示选择，否则表示不选择，vij是物品i,j的交互价值，aj为物品j的体积，b为背包的容量限制。我们引入惩罚系数P和m+1个0/1松弛变量yk,k∈{0,...,m}将模型转写为QUBO模型。

首先将不等式约束配平得到式（2）

将式（2）平方后乘上惩罚系数即可以转为无约束的表达，得到式（3），即该问题的QUBO模型

我们用下面的例子来进一步分析。

其中式（5）为不等式约束，举例而言，如不等式a-b<0可以通过引入辅助变量c转化为等式a-b+c=0,c>0，其中c也叫做松弛变量，我们引入辅助松弛0/1变量x5,x6来配平式（5）。

（6）

因此，我们得到QUBO模型为：

 

我们取P=10，同时根据x2=x（x为0/1变量）的特性，我们可以化简式子，舍去常数项2560后，我们得到QUBO模型的矩阵表达：

（8）

其中Q矩阵为：

求解这个QUBO模型，我们可以得到最优解x1=x3=x4=1,x2=x5=x6=0,y=-2588。

问题拓展

背包问题是经典的NP-hard问题，在数学、计算机科学、物理学等领域都有应用。该问题有多个扩展和变种，其中一些常见的包括：

多重背包问题（Multiple Knapsack Problem）：在多重背包问题中，每种物品有多个可用的副本，而不仅仅是一个。每个物品的数量限制可能不同，目标是选择物品的副本来最大化总价值。

无界背包问题（Unbounded Knapsack Problem）：在无界背包问题中，每种物品有无限多个可用的副本。目标是选择物品的副本来最大化总价值。

分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）：在分数背包问题中，物品可以被分割成任意比例，可以选择部分物品放入背包中。目标是选择物品的比例来最大化总价值。

有约束背包问题（Constrained Knapsack Problem）：在有约束背包问题中，除了背包容量限制外，还存在其他约束条件，如物品之间的依赖关系、物品的数量限制等。目标是在满足所有约束条件的前提下，选择物品来最大化总价值。

参考资料：

[1] Glover, Fred, Kochenberger, Gary, Du, Yu. Quantum Bridge Analytics I: a tutorial on formulating and using QUBO models[J]. 4OR: Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies,2019,17(4):335-371. DOI:10.1007/s10288-019-00424-y.

[2] Dantzig T .T. Dantzig.Number; the Language of Science[J].The Economic Journal, 1930(40-160).

[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98