背包问题的目标是在给定物品和约束条件下，选择一定的物品，使得它们的总价值最大，同时满足总重量不超过给定的限制。模拟退火是一种基于概率的优化算法，主要用于解决全局最优化问题，尤其适用于解决非线性、不规则的优化问题。

模拟退火算法的基本思想

模拟退火算法借用了物理学中固体退火过程的概念。在物理退火过程中，物体从高温状态逐渐冷却，粒子逐步移动到能量最低的状态，最终达到热平衡。模拟退火的核心思想是，通过模拟物理退火过程来避免局部最优解，从而寻找全局最优解。

模拟退火算法的步骤

1. 初始化：

（1）初始解（解空间中的一个点）是随机的，在这个解下计算目标函数值。

（2）设置初始温度 t0 和结束温度 tf，以及冷却系数 a（通常 0 < a < 1）。温度表示搜索的“热度”，随着时间推移温度逐渐降低。

2. 扰动解：

在当前解的基础上，通过一定的随机扰动（例如随机选择某些物品的状态进行改变），生成一个新解。扰动的目的是为了探索解空间，避免陷入局部最优。

3. 接受新解的准则：

（1）如果新解的目标函数值比当前解好（即目标值较小），则直接接受新解。

（2）如果新解的目标函数值较差（即目标值较大），则按照一定的概率接受新解，这个概率由下式决定：

概率公式： exp(-(E_new - E_current) / t)

其中，E_new 是新解的目标函数值，E_current 是当前解的目标函数值，t 是当前温度。这个公式意味着，如果新解较差，温度较高时接受较差解的概率大，温度较低时则接受较差解的概率小。

4. 温度更新：

（1）在每次扰动和接受/拒绝新解后，温度会逐步降低，通常使用冷却因子 a 来控制温度的降低速度：t = t * a。

（2）随着温度逐渐降低，算法会变得越来越“保守”，即更多地倾向于接受较好的解，从而逐渐逼近全局最优解。

5. 终止条件：

当温度降到一定程度（即 t <= tf）时，算法终止，输出当前最优解。

在背包问题中的应用

对于背包问题，模拟退火的应用如下：

1.解的表示：

解可以用一个二进制向量来表示，每个位置对应一个物品，值为1表示该物品被选中，值为0表示该物品没有被选中。

2.目标函数：

目标函数是背包中选中物品的总价值。问题的目标是最大化这个价值。

3.约束条件：

背包的总重量不能超过给定的最大重量。即，对于每个解（物品的选择组合），需要检查该组合的总重量是否满足限制。

4.扰动过程：

在模拟退火中，通过随机翻转物品选择的状态（从选中变为不选中，或反之）来生成新的解。每次翻转会改变物品的总价值和总重量。

5.接受准则：

（1）如果新的解比当前解更好（即价值更大且重量满足约束），则接受新解。

（2）如果新的解比当前解更差，则根据某个概率接受新解，这样做可以避免陷入局部最优解。

6.温度的作用：

初期温度较高时，算法会接受更多较差的解，进行广泛的探索。随着温度的降低，算法会更加保守，只接受更好的解，从而逐步收敛到最优解。

结果

最优解：模拟退火最终会输出一组物品的选择，表示哪些物品应该放入背包以使得总价值最大，同时不超过最大重量限制。

物品总价值：最优解下物品的总价值。

物品总重量：最优解下所选物品的总重量。

通过这个过程，模拟退火算法能够在大范围的解空间中搜索，并且通过逐渐减少接受劣解的概率，帮助找到全局最优解。

clear
clc
%% 数据初始化
k = [5;10;13;4;3;11;13;10;8;16;7;4];
k = -k; % 模拟退火算法是求解最小值，故取负数
d = [2;5;18;3;2;5;10;4;11;7;14;6];
restriction = 46;
num = 12;
%% 模拟退火
% E_current是当前解对应的目标函数值（即背包中物品总价值）；
% E_new是新解的目标函数值；
% E_best是最优解的
E_current = inf;E_best = inf;  
sol_new = ones(1,num);         % 生成初始解
sol_current = sol_new; sol_best = sol_new;
t0=97; tf=3; t=t0;a = 0.95;
p=1;
while t>=tf
 for r=1:100
  %产生随机扰动
  tmp=ceil(rand.*num);
  sol_new(1,tmp)=~sol_new(1,tmp);
  
  %检查是否满足约束
  while 1
   q=(sol_new*d <= restriction);
   if ~q
                p=~p; %实现交错着逆转头尾的第一个1
                tmp=find(sol_new==1);
                if p
                    sol_new(1,tmp(1))=0;    % 变成0还是1视情况而定
                else
                    sol_new(1,tmp(end))=0;
                end
            else
                break
   end
  end
  
  % 计算背包中的物品价值
  E_new=sol_new*k;
  if E_new<E_current
            E_current=E_new;
            sol_current=sol_new;
            if E_new<E_best
    % 把冷却过程中最好的解保存下来
                E_best=E_new;
                sol_best=sol_new;
            end
  else
            if rand<exp(-(E_new-E_current)./t)
                E_current=E_new;
                sol_current=sol_new;
            else
                sol_new=sol_current;
            end
  end
 end
 t=t.*a;
end
 
disp('最优解为：')
disp(sol_best)
disp('物品总价值等于：')
val=-E_best;
disp(val)
disp('背包中物品重量是：')
disp(sol_best * d)

---

本文转载自微信公众号：数学建模CUMCM

背包问题的目标是在给定物品和约束条件下，选择一定的物品，使得它们的总价值最大，同时满足总重量不超过给定的限制。模拟退火是一种基于概率的优化算法，主要用于解决全局最优化问题，尤其适用于解决非线性、不规则的优化问题。

模拟退火算法的基本思想

模拟退火算法借用了物理学中固体退火过程的概念。在物理退火过程中，物体从高温状态逐渐冷却，粒子逐步移动到能量最低的状态，最终达到热平衡。模拟退火的核心思想是，通过模拟物理退火过程来避免局部最优解，从而寻找全局最优解。

模拟退火算法的步骤

1. 初始化：

（1）初始解（解空间中的一个点）是随机的，在这个解下计算目标函数值。

（2）设置初始温度 t0 和结束温度 tf，以及冷却系数 a（通常 0 < a < 1）。温度表示搜索的“热度”，随着时间推移温度逐渐降低。

2. 扰动解：

在当前解的基础上，通过一定的随机扰动（例如随机选择某些物品的状态进行改变），生成一个新解。扰动的目的是为了探索解空间，避免陷入局部最优。

3. 接受新解的准则：

（1）如果新解的目标函数值比当前解好（即目标值较小），则直接接受新解。

（2）如果新解的目标函数值较差（即目标值较大），则按照一定的概率接受新解，这个概率由下式决定：

概率公式： exp(-(E_new - E_current) / t)

其中，E_new 是新解的目标函数值，E_current 是当前解的目标函数值，t 是当前温度。这个公式意味着，如果新解较差，温度较高时接受较差解的概率大，温度较低时则接受较差解的概率小。

4. 温度更新：

（1）在每次扰动和接受/拒绝新解后，温度会逐步降低，通常使用冷却因子 a 来控制温度的降低速度：t = t * a。

（2）随着温度逐渐降低，算法会变得越来越“保守”，即更多地倾向于接受较好的解，从而逐渐逼近全局最优解。

5. 终止条件：

当温度降到一定程度（即 t <= tf）时，算法终止，输出当前最优解。

在背包问题中的应用

对于背包问题，模拟退火的应用如下：

1.解的表示：

解可以用一个二进制向量来表示，每个位置对应一个物品，值为1表示该物品被选中，值为0表示该物品没有被选中。

2.目标函数：

目标函数是背包中选中物品的总价值。问题的目标是最大化这个价值。

3.约束条件：

背包的总重量不能超过给定的最大重量。即，对于每个解（物品的选择组合），需要检查该组合的总重量是否满足限制。

4.扰动过程：

在模拟退火中，通过随机翻转物品选择的状态（从选中变为不选中，或反之）来生成新的解。每次翻转会改变物品的总价值和总重量。

5.接受准则：

（1）如果新的解比当前解更好（即价值更大且重量满足约束），则接受新解。

（2）如果新的解比当前解更差，则根据某个概率接受新解，这样做可以避免陷入局部最优解。

6.温度的作用：

初期温度较高时，算法会接受更多较差的解，进行广泛的探索。随着温度的降低，算法会更加保守，只接受更好的解，从而逐步收敛到最优解。

结果

最优解：模拟退火最终会输出一组物品的选择，表示哪些物品应该放入背包以使得总价值最大，同时不超过最大重量限制。

物品总价值：最优解下物品的总价值。

物品总重量：最优解下所选物品的总重量。

通过这个过程，模拟退火算法能够在大范围的解空间中搜索，并且通过逐渐减少接受劣解的概率，帮助找到全局最优解。

clear
clc
%% 数据初始化
k = [5;10;13;4;3;11;13;10;8;16;7;4];
k = -k; % 模拟退火算法是求解最小值，故取负数
d = [2;5;18;3;2;5;10;4;11;7;14;6];
restriction = 46;
num = 12;
%% 模拟退火
% E_current是当前解对应的目标函数值（即背包中物品总价值）；
% E_new是新解的目标函数值；
% E_best是最优解的
E_current = inf;E_best = inf;  
sol_new = ones(1,num);         % 生成初始解
sol_current = sol_new; sol_best = sol_new;
t0=97; tf=3; t=t0;a = 0.95;
p=1;
while t>=tf
 for r=1:100
  %产生随机扰动
  tmp=ceil(rand.*num);
  sol_new(1,tmp)=~sol_new(1,tmp);
  
  %检查是否满足约束
  while 1
   q=(sol_new*d <= restriction);
   if ~q
                p=~p; %实现交错着逆转头尾的第一个1
                tmp=find(sol_new==1);
                if p
                    sol_new(1,tmp(1))=0;    % 变成0还是1视情况而定
                else
                    sol_new(1,tmp(end))=0;
                end
            else
                break
   end
  end
  
  % 计算背包中的物品价值
  E_new=sol_new*k;
  if E_new<E_current
            E_current=E_new;
            sol_current=sol_new;
            if E_new<E_best
    % 把冷却过程中最好的解保存下来
                E_best=E_new;
                sol_best=sol_new;
            end
  else
            if rand<exp(-(E_new-E_current)./t)
                E_current=E_new;
                sol_current=sol_new;
            else
                sol_new=sol_current;
            end
  end
 end
 t=t.*a;
end
 
disp('最优解为：')
disp(sol_best)
disp('物品总价值等于：')
val=-E_best;
disp(val)
disp('背包中物品重量是：')
disp(sol_best * d)

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本文转载自微信公众号：数学建模CUMCM