贝叶斯推断是经典概率论与统计学中最强有力的工具之一。它为我们在获得新证据时提供了一种系统的方法：在更新信念的过程中，先验期望应尽量少地被修改，只保留新数据所要求的必要变化。这个思想——最小变化原理(minimal change principle)——可以被视为贝叶斯法则在哲学与数学上的基石。在经典情境中，人们甚至能够通过最小化某种散度来推导出贝叶斯更新规则。

然而，将这一逻辑转移到量子领域却面临挑战。量子态并不是单纯的概率分布，而是由希尔伯特空间上的密度算符表示；量子动力学也不是普通的条件概率，而是由完全正、迹保持（CPTP）的量子通道来描述。因此，如何在量子场景中定义一种合理的“量子贝叶斯更新规则”，远比经典情况复杂。尽管已有不少候选方案被提出，但由于缺乏统一的理据，它们并未形成普遍共识。

DOI：https://doi.org/10.1103/5n4p-bxhm

最近发表在PRL的一篇论文表明，如果在量子背景下合理地重新表述最小变化原则，它将自然地导出Petz 转置映射。这不仅为 Petz 映射提供了一个清晰的操作学解释，也为量子贝叶斯更新奠定了统一的框架。

01 经典与量子语境下的最小变化原理

在经典的概率论中，最小变化原理（也被称为最大熵或最小信息增益原理）指出，当我们根据新信息更新一个概率分布时，我们应该选择那个与原始分布“最接近”的新分布。这种“接近度”是用Kullback-Leibler（KL）散度，或称相对熵，来衡量的。这个原则确保了我们只纳入新信息，不多不少，从而避免引入虚假假设或偏见。例如，如果我们得知一个随机变量的平均值变了，我们就会找到那个既符合新平均值、又与旧分布的KL散度最小的新概率分布。由此得到的结果就是我们更新后的信念。

这篇论文将这一强大的思想推广到了量子领域。在这里，经典的概率分布被量子态（用密度矩阵表示）取代，而KL散度被量子相对熵取代。量子相对熵 S(ρ∣∣σ)=Tr(ρlogρ)−Tr(ρlogσ) 用来衡量两个量子态 ρ 和 σ 之间的可区分性。量子语境下的最小变化原理要求：当获得关于量子系统的新信息时，我们应该通过寻找一个新状态来更新它，这个新状态在与旧状态的量子相对熵最小化的同时，必须与新信息保持一致。这个看似简单的优化问题成为了揭示量子动力学基本规则的关键。

02 推导量子贝叶斯规则

最小变化原理的第一个也是最直接的应用是推导出量子贝叶斯规则。在经典推断中，贝叶斯定理告诉我们如何根据新证据更新对一个假设的先验信念。在量子世界里，这相当于在执行一次测量后更新一个量子态。量子测量是一个从量子系统提取经典信息的过程，结果是系统的状态“坍缩”或发生改变。

让我们考虑一个先验量子态ρ。然后我们进行一次测量，由一组测量算符 {Mk} 表示，其中每个Mk对应一个可能的测量结果k。当观察到结果k时，量子贝叶斯规则提供了更新后的（后验）状态ρk的公式。这篇论文表明，这个公式正是以下受约束优化问题的解：

找到一个新状态ρnew，使其最小化 S(ρnew∣∣ρ)，同时满足 ρnew 产生正确的测量结果统计。这个优化的解正是Lüders规则（一种常见的量子贝叶斯规则形式）：

这个优雅的推导意义重大，因为它将Lüders规则的基础从一个临时的假设转变为一个更深层、更直观的逻辑推断原则。它表明，Lüders规则是更新量子态最理性的方式，因为它在容纳新信息的同时，对我们知识状态做出了最小可能的改变。

03 揭示Petz转置映射

虽然量子贝叶斯规则处理测量后的状态更新问题，但Petz转置映射则处理一个不同但相关的问题：量子信道的“逆转”。一个量子信道，由一个完全正、保迹（CPTP）映射 E 表示，描述了量子态如何随时间演化，例如由于与环境的相互作用。Petz映射 E† 是一个数学构造，它在某种意义上“反转”了这个过程。它接收信道的输出状态，并将其映射回输入状态，这在量子纠错和状态恢复等领域是一个至关重要的工具。

这篇论文证明，Petz映射也可以从最小变化原理中推导出来。假设我们有一个量子信道 E，它将输入态 ρ 映射到输出态 σ=E(ρ)。现在，如果我们知道了输出态 σ，我们想找到对原始输入态 ρ 的最佳猜测。这是一个“反演”问题。最小变化原理建议，我们应该选择“最可能”的输入态，当它通过信道 E 后，产生的输出态与我们观察到的输出态“最接近”。

更正式地说，我们寻找一个映射 R（我们的反向信道），当它应用于输出态 σ 时，能够最小化恢复态 R(σ) 与真实输入态 ρ 之间的距离。通过将这个问题框架化为量子相对熵的最小化（特别是涉及输入和输出系统的联合状态），作者们证明了最优的“反向”映射正是Petz转置映射。

这个推导将“反演”信道的问题与最小化信息损失的原理联系起来。因此，Petz映射作为最优的恢复操作而出现，它是在信道输出的约束下，与原始输入态“变化最小”的操作。

04 结论：一次优雅的综合

这篇论文代表了信息论和量子力学思想的一次深刻综合。通过证明量子贝叶斯规则和Petz转置映射都可以从相同的最小变化原理中推导出来，作者们为量子信息中最重要的两种操作提供了统一且深刻的视角。这项工作不仅为这些规则提供了坚实的理论基础，也凸显了使用信息论原理作为理解量子力学定律的指导框架的力量。它将复杂的数学工具从临时的规则转变为一个优雅而直观的原则的自然结果：面对新信息，我们应该总是对我们的知识状态做出最小可能的改变。这种统一的观点为探索量子计算和量子信息科学未来的挑战提供了一个强大的视角。

 

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文章转载自微信公众号：大锅天眼 物理研究更新

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贝叶斯推断是经典概率论与统计学中最强有力的工具之一。它为我们在获得新证据时提供了一种系统的方法：在更新信念的过程中，先验期望应尽量少地被修改，只保留新数据所要求的必要变化。这个思想——最小变化原理(minimal change principle)——可以被视为贝叶斯法则在哲学与数学上的基石。在经典情境中，人们甚至能够通过最小化某种散度来推导出贝叶斯更新规则。

然而，将这一逻辑转移到量子领域却面临挑战。量子态并不是单纯的概率分布，而是由希尔伯特空间上的密度算符表示；量子动力学也不是普通的条件概率，而是由完全正、迹保持（CPTP）的量子通道来描述。因此，如何在量子场景中定义一种合理的“量子贝叶斯更新规则”，远比经典情况复杂。尽管已有不少候选方案被提出，但由于缺乏统一的理据，它们并未形成普遍共识。

DOI：https://doi.org/10.1103/5n4p-bxhm

最近发表在PRL的一篇论文表明，如果在量子背景下合理地重新表述最小变化原则，它将自然地导出Petz 转置映射。这不仅为 Petz 映射提供了一个清晰的操作学解释，也为量子贝叶斯更新奠定了统一的框架。

01 经典与量子语境下的最小变化原理

在经典的概率论中，最小变化原理（也被称为最大熵或最小信息增益原理）指出，当我们根据新信息更新一个概率分布时，我们应该选择那个与原始分布“最接近”的新分布。这种“接近度”是用Kullback-Leibler（KL）散度，或称相对熵，来衡量的。这个原则确保了我们只纳入新信息，不多不少，从而避免引入虚假假设或偏见。例如，如果我们得知一个随机变量的平均值变了，我们就会找到那个既符合新平均值、又与旧分布的KL散度最小的新概率分布。由此得到的结果就是我们更新后的信念。

这篇论文将这一强大的思想推广到了量子领域。在这里，经典的概率分布被量子态（用密度矩阵表示）取代，而KL散度被量子相对熵取代。量子相对熵 S(ρ∣∣σ)=Tr(ρlogρ)−Tr(ρlogσ) 用来衡量两个量子态 ρ 和 σ 之间的可区分性。量子语境下的最小变化原理要求：当获得关于量子系统的新信息时，我们应该通过寻找一个新状态来更新它，这个新状态在与旧状态的量子相对熵最小化的同时，必须与新信息保持一致。这个看似简单的优化问题成为了揭示量子动力学基本规则的关键。

02 推导量子贝叶斯规则

最小变化原理的第一个也是最直接的应用是推导出量子贝叶斯规则。在经典推断中，贝叶斯定理告诉我们如何根据新证据更新对一个假设的先验信念。在量子世界里，这相当于在执行一次测量后更新一个量子态。量子测量是一个从量子系统提取经典信息的过程，结果是系统的状态“坍缩”或发生改变。

让我们考虑一个先验量子态ρ。然后我们进行一次测量，由一组测量算符 {Mk} 表示，其中每个Mk对应一个可能的测量结果k。当观察到结果k时，量子贝叶斯规则提供了更新后的（后验）状态ρk的公式。这篇论文表明，这个公式正是以下受约束优化问题的解：

找到一个新状态ρnew，使其最小化 S(ρnew∣∣ρ)，同时满足 ρnew 产生正确的测量结果统计。这个优化的解正是Lüders规则（一种常见的量子贝叶斯规则形式）：

这个优雅的推导意义重大，因为它将Lüders规则的基础从一个临时的假设转变为一个更深层、更直观的逻辑推断原则。它表明，Lüders规则是更新量子态最理性的方式，因为它在容纳新信息的同时，对我们知识状态做出了最小可能的改变。

03 揭示Petz转置映射

虽然量子贝叶斯规则处理测量后的状态更新问题，但Petz转置映射则处理一个不同但相关的问题：量子信道的“逆转”。一个量子信道，由一个完全正、保迹（CPTP）映射 E 表示，描述了量子态如何随时间演化，例如由于与环境的相互作用。Petz映射 E† 是一个数学构造，它在某种意义上“反转”了这个过程。它接收信道的输出状态，并将其映射回输入状态，这在量子纠错和状态恢复等领域是一个至关重要的工具。

这篇论文证明，Petz映射也可以从最小变化原理中推导出来。假设我们有一个量子信道 E，它将输入态 ρ 映射到输出态 σ=E(ρ)。现在，如果我们知道了输出态 σ，我们想找到对原始输入态 ρ 的最佳猜测。这是一个“反演”问题。最小变化原理建议，我们应该选择“最可能”的输入态，当它通过信道 E 后，产生的输出态与我们观察到的输出态“最接近”。

更正式地说，我们寻找一个映射 R（我们的反向信道），当它应用于输出态 σ 时，能够最小化恢复态 R(σ) 与真实输入态 ρ 之间的距离。通过将这个问题框架化为量子相对熵的最小化（特别是涉及输入和输出系统的联合状态），作者们证明了最优的“反向”映射正是Petz转置映射。

这个推导将“反演”信道的问题与最小化信息损失的原理联系起来。因此，Petz映射作为最优的恢复操作而出现，它是在信道输出的约束下，与原始输入态“变化最小”的操作。

04 结论：一次优雅的综合

这篇论文代表了信息论和量子力学思想的一次深刻综合。通过证明量子贝叶斯规则和Petz转置映射都可以从相同的最小变化原理中推导出来，作者们为量子信息中最重要的两种操作提供了统一且深刻的视角。这项工作不仅为这些规则提供了坚实的理论基础，也凸显了使用信息论原理作为理解量子力学定律的指导框架的力量。它将复杂的数学工具从临时的规则转变为一个优雅而直观的原则的自然结果：面对新信息，我们应该总是对我们的知识状态做出最小可能的改变。这种统一的观点为探索量子计算和量子信息科学未来的挑战提供了一个强大的视角。

 

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