浙江大学团队在《Science China-Phys. Mech. Astron.》2025 年 68 卷发表该研究，提出量子启发深度神经网络框架（QIDNNF）。该框架融入相位不变性与归一化守恒，通过薛定谔化转化 PDE 求解。400 样本训练下预测误差仅 0.0031，2000 样本时误差降至 1.1820×10⁻⁴，远优于 Neural ODEs 与 PINNs。可稳定模拟 1D 非线性波、2D 涡旋流、3D 烟雾运动，大步长下无数值耗散，为复杂物理系统模拟提供高效方案。

偏微分方程（PDE）是描述物理世界的 “语言”—— 从流体流动、波的传播到量子力学现象，都离不开它的精准刻画。但传统数值方法在处理高维、非线性系统时易出现稳定性问题，而常规机器学习模型又常违背物理守恒定律，导致长期模拟结果失真。浙江大学团队在《Science China-Phys. Mech. Astron.》发表突破性研究，提出量子启发深度神经网络框架（QIDNNF），将量子力学核心原理融入 AI 模型，既保证了物理一致性，又实现了高精度、长时程的 PDE 求解，为流体力学、量子模拟等领域提供了全新计算工具。

  一、PDE 求解的 “传统困境” 与 “AI 痛点”

偏微分方程的求解是科学计算的核心，但长期以来面临双重挑战：

传统数值方法的局限：有限差分、有限元等经典方法需对时空域离散化，处理非线性、高维系统时计算量呈指数增长；且对时间步长敏感，大步长易导致数值耗散或振荡，小步长又大幅增加计算成本，难以兼顾效率与稳定性。

常规 AI 模型的短板：物理知情神经网络（PINNs）、神经常微分方程（Neural ODEs）等数据驱动方法虽无需网格离散，但缺乏对物理守恒定律的硬性约束 —— 比如模拟量子系统时无法保证波函数归一化，模拟流体时忽略能量守恒，导致长期预测结果偏离物理实际，误差不断累积。

以流体力学中的涡旋演化为例，传统方法模拟数百步后易出现涡旋消散的非物理现象，而常规 AI 模型可能预测出不符合动量守恒的流动轨迹，这都限制了它们在工程实际中的应用。

  二、QIDNNF 的 “量子魔法”：物理约束 + AI 泛化的双重赋能

图一：薛定谔方程求解方法对比

QIDNNF 的核心创新的是将量子力学的两大核心原理 ——全局相位不变性与归一化守恒—— 深度嵌入神经网络架构，同时结合 “薛定谔化”（Schrödingerization）技术，将各类 PDE 统一转化为薛定谔方程形式求解，实现 “物理一致性 + 数据驱动泛化” 的双重优势。

2.1 核心量子原理：让 AI “懂物理”

全局相位不变性：量子力学中，波函数乘以全局相位因子eiϕ不会改变物理可观测量（如概率密度）。QIDNNF 通过相位积分操作，让模型预测不受初始相位角变化影响，即使输入相位改变，输出的物理结果仍保持一致。

归一化守恒：薛定谔方程的幺正演化确保波函数的模始终为 1（总概率守恒）。QIDNNF 引入归一化因子λ，在每一步时间演化中强制保持波函数归一化，避免模拟过程中出现能量泄漏、密度异常等非物理现象。

2.2 关键技术：薛定谔化 + 双步求解

薛定谔化转化：

通过映射函数ψ=S(u)，将原始 PDE 的变量u（如流体速度、波振幅）转化为波函数ψ，使任意 PDE 都能被重构为薛定谔方程形式：

iℏ^∂t/_∂ψ=Hψ

其中H为哈密顿算子，ℏ为普朗克常数（简化为 1），这种转化让非线性问题线性化，大幅降低求解难度。

双步求解策略：

1.相位积分平滑：对高频相位振荡进行积分平均，缓解数值波动，增强稳定性；

2.半隐式更新：通过半隐式格式处理演化项，避免显式方法的稳定性限制，支持更大时间步长。

2.3 模型架构：从数据到物理的闭环

QIDNNF 的运作流程清晰高效：

1.数据生成：用高精度 RK4 方法生成波函数演化的真实数据，作为训练的 “ground truth”；

2.模型训练：通过含物理约束的损失函数（融合 L1 损失与物理守恒损失），训练神经网络学习波函数演化规律；

3.预测与反演：输入初始波函数，模型预测其长时演化，再通过逆薛定谔化将波函数映射回原始物理场（如速度、密度），确保结果可解释。

  三、性能验证：碾压传统方法的 “硬核数据”

团队通过多个基准测试，全面验证 QIDNNF 的性能，核心结果令人瞩目：

3.1 稳定性与精度双突破

图二：大步长（Δt=0.5）下波函数演化预测对比

大步长优势：当时间步长Δt=0.5（远超传统方法稳定阈值）时，RK4 方法出现明显数值耗散，而 QIDNNF 仍能精准复现波函数演化，无明显失真；

长期预测能力：仅用 [0,4] 时间区间的训练数据，即可准确预测 [0,20] 区间的演化，甚至能基于 2 个连续时间步的训练数据，完成 2000 步的连续预测；

误差碾压同类模型：400 个训练样本下，QIDNNF 的预测误差仅为 0.0031，而 Neural ODEs 误差达 0.6343，PINNs 误差高达 0.8893；当样本增至 2000 个，QIDNNF 误差进一步降至1.1820×10−4，精度提升三个数量级。

3.2 物理守恒严格满足

归一化守恒：模拟全程波函数模始终保持1，无能量泄漏；

相位不变性：初始相位角从0变为π/3，预测结果的物理可观测量完全一致，不受相位干扰。

3.3 多场景适配：从量子到流体

图三：3D“蛙跳式”烟雾运动模拟对比

QIDNNF 并非局限于量子系统，而是能高效求解各类 PDE，覆盖复杂物理场景：

拉格朗日涡旋：模拟 8 个涡旋粒子的演化，4000 步预测后，流场结构与真实结果高度吻合，而 Neural ODEs 出现明显涡旋偏移；

1D 非线性波：求解非线性薛定谔方程，准确捕捉波的传播、干涉行为，长期模拟无振幅衰减；

2D/3D 流体：成功模拟二维涡旋流场和三维 “蛙跳式” 烟雾运动，速度场与密度场的演化符合不可压缩流体守恒定律，可视化结果与真实流动几乎无差异。

  四、应用价值：从科研到工程的 “全能工具”

QIDNNF 的突破不仅在于理论创新，更具备广泛的实际应用前景：

流体力学领域：可用于航空航天中的气动仿真、海洋工程的涡激振动预测、天气预报的流体运动模拟，大幅提升计算效率与精度；

量子物理领域：为 Bose-Einstein 凝聚体、等离子体波等量子系统提供高效模拟工具，降低量子计算的硬件依赖；

工程设计领域：指导飞行器、船舶的外形优化，以及声学、光学设备的性能设计，缩短研发周期；

高维问题求解：通过 U-Net 架构拓展至 3D 场景，为复杂多物理场耦合问题（如多相流、热传导 + 流体流动）提供解决方案。

  五、总结：AI 与物理融合的新范式

QIDNNF 的核心价值，在于打破了 “数据驱动” 与 “物理约束” 的对立 —— 它既发挥了神经网络处理高维、非线性问题的泛化能力，又通过量子原理的嵌入确保了物理一致性，解决了传统方法与常规 AI 模型的双重痛点。其 0.0031 的预测误差、2000 步的长时稳定模拟、多场景的广泛适配性，证明了量子启发 AI 在科学计算中的巨大潜力。

未来，随着与量子计算硬件的结合，QIDNNF 有望进一步突破算力瓶颈，为核聚变中的等离子体演化、宇宙中的流体动力学现象等更复杂的物理系统，提供精准、高效的模拟工具，推动科研与工程领域的计算范式革命。

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原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s11433-025-2649-9

浙江大学团队在《Science China-Phys. Mech. Astron.》2025 年 68 卷发表该研究，提出量子启发深度神经网络框架（QIDNNF）。该框架融入相位不变性与归一化守恒，通过薛定谔化转化 PDE 求解。400 样本训练下预测误差仅 0.0031，2000 样本时误差降至 1.1820×10⁻⁴，远优于 Neural ODEs 与 PINNs。可稳定模拟 1D 非线性波、2D 涡旋流、3D 烟雾运动，大步长下无数值耗散，为复杂物理系统模拟提供高效方案。

偏微分方程（PDE）是描述物理世界的 “语言”—— 从流体流动、波的传播到量子力学现象，都离不开它的精准刻画。但传统数值方法在处理高维、非线性系统时易出现稳定性问题，而常规机器学习模型又常违背物理守恒定律，导致长期模拟结果失真。浙江大学团队在《Science China-Phys. Mech. Astron.》发表突破性研究，提出量子启发深度神经网络框架（QIDNNF），将量子力学核心原理融入 AI 模型，既保证了物理一致性，又实现了高精度、长时程的 PDE 求解，为流体力学、量子模拟等领域提供了全新计算工具。

  一、PDE 求解的 “传统困境” 与 “AI 痛点”

偏微分方程的求解是科学计算的核心，但长期以来面临双重挑战：

传统数值方法的局限：有限差分、有限元等经典方法需对时空域离散化，处理非线性、高维系统时计算量呈指数增长；且对时间步长敏感，大步长易导致数值耗散或振荡，小步长又大幅增加计算成本，难以兼顾效率与稳定性。

常规 AI 模型的短板：物理知情神经网络（PINNs）、神经常微分方程（Neural ODEs）等数据驱动方法虽无需网格离散，但缺乏对物理守恒定律的硬性约束 —— 比如模拟量子系统时无法保证波函数归一化，模拟流体时忽略能量守恒，导致长期预测结果偏离物理实际，误差不断累积。

以流体力学中的涡旋演化为例，传统方法模拟数百步后易出现涡旋消散的非物理现象，而常规 AI 模型可能预测出不符合动量守恒的流动轨迹，这都限制了它们在工程实际中的应用。

  二、QIDNNF 的 “量子魔法”：物理约束 + AI 泛化的双重赋能

图一：薛定谔方程求解方法对比

QIDNNF 的核心创新的是将量子力学的两大核心原理 ——全局相位不变性与归一化守恒—— 深度嵌入神经网络架构，同时结合 “薛定谔化”（Schrödingerization）技术，将各类 PDE 统一转化为薛定谔方程形式求解，实现 “物理一致性 + 数据驱动泛化” 的双重优势。

2.1 核心量子原理：让 AI “懂物理”

全局相位不变性：量子力学中，波函数乘以全局相位因子eiϕ不会改变物理可观测量（如概率密度）。QIDNNF 通过相位积分操作，让模型预测不受初始相位角变化影响，即使输入相位改变，输出的物理结果仍保持一致。

归一化守恒：薛定谔方程的幺正演化确保波函数的模始终为 1（总概率守恒）。QIDNNF 引入归一化因子λ，在每一步时间演化中强制保持波函数归一化，避免模拟过程中出现能量泄漏、密度异常等非物理现象。

2.2 关键技术：薛定谔化 + 双步求解

薛定谔化转化：

通过映射函数ψ=S(u)，将原始 PDE 的变量u（如流体速度、波振幅）转化为波函数ψ，使任意 PDE 都能被重构为薛定谔方程形式：

iℏ^∂t/_∂ψ=Hψ

其中H为哈密顿算子，ℏ为普朗克常数（简化为 1），这种转化让非线性问题线性化，大幅降低求解难度。

双步求解策略：

1.相位积分平滑：对高频相位振荡进行积分平均，缓解数值波动，增强稳定性；

2.半隐式更新：通过半隐式格式处理演化项，避免显式方法的稳定性限制，支持更大时间步长。

2.3 模型架构：从数据到物理的闭环

QIDNNF 的运作流程清晰高效：

1.数据生成：用高精度 RK4 方法生成波函数演化的真实数据，作为训练的 “ground truth”；

2.模型训练：通过含物理约束的损失函数（融合 L1 损失与物理守恒损失），训练神经网络学习波函数演化规律；

3.预测与反演：输入初始波函数，模型预测其长时演化，再通过逆薛定谔化将波函数映射回原始物理场（如速度、密度），确保结果可解释。

  三、性能验证：碾压传统方法的 “硬核数据”

团队通过多个基准测试，全面验证 QIDNNF 的性能，核心结果令人瞩目：

3.1 稳定性与精度双突破

图二：大步长（Δt=0.5）下波函数演化预测对比

大步长优势：当时间步长Δt=0.5（远超传统方法稳定阈值）时，RK4 方法出现明显数值耗散，而 QIDNNF 仍能精准复现波函数演化，无明显失真；

长期预测能力：仅用 [0,4] 时间区间的训练数据，即可准确预测 [0,20] 区间的演化，甚至能基于 2 个连续时间步的训练数据，完成 2000 步的连续预测；

误差碾压同类模型：400 个训练样本下，QIDNNF 的预测误差仅为 0.0031，而 Neural ODEs 误差达 0.6343，PINNs 误差高达 0.8893；当样本增至 2000 个，QIDNNF 误差进一步降至1.1820×10−4，精度提升三个数量级。

3.2 物理守恒严格满足

归一化守恒：模拟全程波函数模始终保持1，无能量泄漏；

相位不变性：初始相位角从0变为π/3，预测结果的物理可观测量完全一致，不受相位干扰。

3.3 多场景适配：从量子到流体

图三：3D“蛙跳式”烟雾运动模拟对比

QIDNNF 并非局限于量子系统，而是能高效求解各类 PDE，覆盖复杂物理场景：

拉格朗日涡旋：模拟 8 个涡旋粒子的演化，4000 步预测后，流场结构与真实结果高度吻合，而 Neural ODEs 出现明显涡旋偏移；

1D 非线性波：求解非线性薛定谔方程，准确捕捉波的传播、干涉行为，长期模拟无振幅衰减；

2D/3D 流体：成功模拟二维涡旋流场和三维 “蛙跳式” 烟雾运动，速度场与密度场的演化符合不可压缩流体守恒定律，可视化结果与真实流动几乎无差异。

  四、应用价值：从科研到工程的 “全能工具”

QIDNNF 的突破不仅在于理论创新，更具备广泛的实际应用前景：

流体力学领域：可用于航空航天中的气动仿真、海洋工程的涡激振动预测、天气预报的流体运动模拟，大幅提升计算效率与精度；

量子物理领域：为 Bose-Einstein 凝聚体、等离子体波等量子系统提供高效模拟工具，降低量子计算的硬件依赖；

工程设计领域：指导飞行器、船舶的外形优化，以及声学、光学设备的性能设计，缩短研发周期；

高维问题求解：通过 U-Net 架构拓展至 3D 场景，为复杂多物理场耦合问题（如多相流、热传导 + 流体流动）提供解决方案。

  五、总结：AI 与物理融合的新范式

QIDNNF 的核心价值，在于打破了 “数据驱动” 与 “物理约束” 的对立 —— 它既发挥了神经网络处理高维、非线性问题的泛化能力，又通过量子原理的嵌入确保了物理一致性，解决了传统方法与常规 AI 模型的双重痛点。其 0.0031 的预测误差、2000 步的长时稳定模拟、多场景的广泛适配性，证明了量子启发 AI 在科学计算中的巨大潜力。

未来，随着与量子计算硬件的结合，QIDNNF 有望进一步突破算力瓶颈，为核聚变中的等离子体演化、宇宙中的流体动力学现象等更复杂的物理系统，提供精准、高效的模拟工具，推动科研与工程领域的计算范式革命。

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原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s11433-025-2649-9