最近有点痴迷于人工智能技术在仿真方面的应用了，但是LLM大语音模型来做仿真目前还是不现实，直接模拟估计还是要DNN这类深度神经网络来做，为此我也整理了相关的方法和应用场景，分享出来给大家一起交流学习。

PS：最近在利用dify搭建OpenFOAM专用智能体，问题还是比较多，感觉想把OpenFOAM的内容变成知识库，很具有挑战性和技巧性，欢迎有兴趣的找我一起交流。

  1. 引言

1.1 研究背景与意义

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）作为现代工程设计和科学研究的核心工具，在航空航天、能源动力、汽车工程、生物医学等领域发挥着不可替代的作用。然而，传统 CFD 方法面临着计算成本高昂、求解时间长、内存需求大等根本性挑战，特别是在处理复杂几何形状、高雷诺数湍流以及多物理场耦合问题时，这些限制尤为突出(1)。

近年来，深度学习技术的快速发展为 CFD 领域带来了革命性的机遇。深度神经网络（Deep Neural Networks, DNN）凭借其强大的非线性映射能力、高效的并行计算特性以及自动特征提取功能，在 CFD 仿真加速、湍流建模、设计优化等方面展现出巨大潜力(5)。特别是 2020 年以来，随着 Transformer 架构的广泛应用和物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）的兴起，DNN 与 CFD 的融合呈现出前所未有的发展态势(22)。

1.2 研究目标与范围

本综述全面梳理了近5年深度神经网络在 CFD 计算中的最新应用进展，系统分析不同类型 DNN 架构（CNN、RNN、Transformer 等）与 CFD 计算过程的各种耦合方式，深入探讨其在航空航天、能源、汽车、生物医学等关键领域的应用现状与技术挑战。通过对最新研究成果的综合分析，本综述期望为相关领域的研究人员和工程师提供系统性的技术参考，推动 DNN-CFD 融合技术的进一步发展。

1.3 文章结构

本综述共分为六个主要部分。第二部分系统介绍了深度神经网络的基本架构类型及其在 CFD 中的应用原理；第三部分详细分析了 DNN 与 CFD 的耦合策略；第四部分按应用领域分类讨论了具体应用案例；第五部分总结了当前技术发展趋势与面临的挑战；第六部分对未来发展方向进行了展望。

  2. 深度神经网络架构在 CFD 中的应用

2.1 卷积神经网络（CNN）

2.1.1 CNN 基本原理与特性

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNN）通过卷积层、池化层和全连接层的组合，能够自动提取数据中的空间特征，特别适合处理具有网格结构的 CFD 数据(1)。在 CFD 应用中，CNN 的核心优势在于其局部连接和权值共享特性，这使得网络能够以较低的计算复杂度捕获流体流动的局部空间结构。

CNN 在 CFD 中的应用主要基于编码器 - 解码器架构。编码器由多个卷积层和池化层组成，负责将输入的几何场或流场数据降维到低维潜在空间；解码器则通过反卷积层或插值层将潜在特征恢复为完整的流场信息。U-Net 作为一种特殊的 CNN 架构，通过跳跃连接将编码器的特征图与解码器对应层的特征图进行拼接，显著提升了流场重建的精度，已成为稳态流场预测的主流架构。

2.1.2 CNN 在 CFD 中的具体应用

CNN 在 CFD 中的应用涵盖了从稳态流场预测到湍流建模的多个方面。在稳态流动近似方面，Guo 等人提出了基于 CNN 的通用灵活近似模型，能够实时预测二维或三维域中的非均匀稳态层流，相比 GPU 加速的 CFD 求解器实现了两个数量级的加速，相比 CPU 求解器实现了四个数量级的加速(1)。

在湍流建模领域，CNN 展现出强大的学习能力。Zhao 等人开发了基于 CNN 的湍流建模框架，通过学习高保真数据集的雷诺应力模式和空间相关性，能够准确预测城市风场中的湍流特性(11)。该框架在复杂几何形状的区域表现良好，特别是在训练数据集覆盖的流动特性区域，能够提供连续平滑的速度场分布。

在实际工程应用中，CNN 已成功应用于多个领域。在航空航天领域，CNN 被用于高维气动数据建模，通过自由变形方法对机翼进行参数化，定义了 109 个包含飞行状态和气动形状变量的模型输入，能够快速预测复杂几何形状的气动特性。在汽车工程中，CNN 被用于三维流场估计，通过风格提取器获得车辆形状的深层特征，并应用自适应实例归一化改善估计性能，在尾流区域和车辆表面附近区域的流场估计方面表现优异(84)。

2.2 循环神经网络（RNN）及其变体

2.2.1 RNN 与 LSTM 基本原理

循环神经网络（Recurrent Neural Networks, RNN）及其变体长短期记忆网络（Long Short-Term Memory, LSTM）特别适合处理具有时间序列特征的 CFD 问题，如非稳态流动模拟和湍流演化预测(19)。LSTM 通过门控机制有效解决了传统 RNN 的梯度消失问题，能够学习流体流动的长期时间依赖性。

在 CFD 应用中，LSTM 主要用于建模流体系统的动力学行为。通过将高保真 CFD 模型在选定时间层的解作为训练数据，LSTM 网络能够构建表示降阶流体动力学系统的超曲面集合(21)。这种方法的优势在于能够捕捉流体流动的复杂时空动态，同时保持计算效率。

2.2.2 LSTM 在 CFD 中的典型应用

LSTM 在 CFD 中的应用主要集中在非线性气动弹性力建模、湍流建模和晶体生长预测等方面。在桥梁工程中，An 等人提出了基于 LSTM 网络的降阶模型，用于模拟具有各种前缘形状的桥梁断面的非线性气动弹性力。该模型以桥梁断面运动、前缘角度和风速为输入，输出非线性气动弹性力，在高保真 CFD 数据集上训练后表现出良好的预测精度(19)。

在湍流建模方面，Pasinato 研究了使用 LSTM 预测 RANS（雷诺平均 Navier-Stokes）模拟中的湍流特性。该研究构成了评估 LSTM 神经网络替代 RANS 湍流模型可行性研究的第二阶段，通过 LSTM 模型预测剪切雷诺应力并在 RANS 模拟中传播，获得湍流流动的平均流场(27)。

在材料科学领域，Deng 等人将 RNN 与 CFD 结合，用于预测垂直梯度凝固（VGF）法生长磷化铟单晶过程中的温度和晶体生长高度。通过比较 LSTM 模型和门控循环单元（GRU）的预测效果，发现 GRU 在预测精度和计算时间方面表现更优。

2.3 Transformer 架构

2.3.1 Transformer 基本原理与优势

Transformer 架构基于自注意力机制，能够直接建模序列中任意两个位置之间的依赖关系，无需通过递归或卷积来逐步传递信息(22)。在 CFD 应用中，Transformer 的核心优势在于其全局感知能力，能够捕捉流体流动中的长程空间相关性，这对于理解和预测复杂的湍流结构具有重要意义。

在降阶建模框架中，研究人员使用卷积自编码器作为降维机制，然后训练 Transformer 模型学习编码状态空间中的系统动力学。该模型即使在湍流数据集上也表现出竞争性的结果(22)。与传统的降阶模型相比，基于 Transformer 的方法能够动态检测空间相关性和模式，并根据检测到的模式计算下一状态，实现了动态或即时降阶建模。

2.3.2 Transformer 在 CFD 中的应用进展

Transformer 在 CFD 中的应用正在快速发展，涵盖了从基础研究到工业应用的多个层面。在流体动力学建模方面，Universal Physics Transformers (UPTs) 提供了一种高效统一的学习范式，能够处理各种时空问题，无需基于网格或粒子的潜在结构，在基于网格的流体仿真和稳态雷诺平均 Navier-Stokes 仿真中展现出多样化的适用性和有效性(23)。

在湍流建模领域，Yang 等人提出了改进的隐式因子化 Transformer（IFactFormer-m）模型，通过将原始的链式因子化注意力替换为并行因子化注意力，成功实现了湍流通道流的长期预测。与原始 IFactFormer、傅里叶神经算子（FNO）和隐式傅里叶神经算子（IFNO）相比，IFactFormer-m 在短期预测中减少了误差，并实现了各种统计特性和流动结构的稳定准确长期预测(26)。

在实际应用中，Transformer 已被用于构建 PDE 基础模型。BCAT（Block Causal Transformer）使用块因果 Transformer 架构对二维流体动力学问题的解进行自回归预测，利用先前帧作为上下文先验，更有效地捕获非线性时空动力学和物理现象中固有的空间依赖性(31)。

2.4 其他新兴 DNN 架构

2.4.1 图神经网络（GNN）

图神经网络（Graph Neural Networks, GNN）特别适合处理非结构化网格的 CFD 数据，能够直接在任意拓扑结构的网格上进行计算(35)。与传统基于像素的 CNN 不同，图卷积可以直接应用于贴体三角形网格，便于与 CFD 求解器耦合。

在 CFD 应用中，GNN 展现出独特的优势。Belbute-Peres 等人开发了结合可微分 PDE 求解器和图神经网络的混合架构，将传统图卷积网络与嵌入在网络内部的可微分流体动力学模拟器相结合。该方法在更粗糙分辨率表示上运行实际 CFD 模拟器，既保持了对新情况的良好泛化能力，又从神经网络 CFD 预测的大幅加速中受益(35)。

在流场补全方面，He 等人提出了流场补全网络（FCN），基于图卷积注意力网络从不完整数据推断流体动力学特性。FCN 由多个图卷积层和空间注意力层组成，能够处理结构化和非结构化数据，在圆柱绕流的 CFD 数据评估中表现出色，预测的力系数与 CFD 直接计算结果吻合良好(45)。

2.4.2 U-Net 及其变体

U-Net 作为一种全卷积编码器 - 解码器网络，通过跳跃连接实现编码器和解码器层之间的信息传递，特别适合 CFD 中的流场重建任务(36)。在 CFD 应用中，U-Net 的成功主要归因于其能够提取不同尺度的流动特征，并将编码器识别的判别特征与解码器共享以进行场合成，这与流体动力学的多尺度特性高度契合。

在大规模地质系统的流体流动预测中，研究人员提出了结合残差 U-Net 和自回归策略的深度神经网络模型。该模型将前一时间步的输出作为当前时间步的输入，通过丰富的跳跃连接促进信息传播，以较少的参数实现了更好的预测性能(36)。

在三维地下流动数据同化中，研究人员开发了三维递归残差 U-Net（递归 R-U-Net），由 3D 卷积和递归（convLSTM）神经网络组成，专门用于捕获与动态地下流动系统相关的时空信息(37)。该模型在处理复杂地质模型的动态状态和井响应预测方面表现出色。

  3. DNN 与 CFD 的耦合策略

3.1 替代模型（Surrogate Model）策略

3.1.1 基于物理约束的神经网络

基于物理约束的神经网络通过将控制方程和边界条件直接嵌入到损失函数中，使网络预测满足物理定律，从而减少对大量训练数据的依赖(47)。这种方法的核心思想是通过最小化控制偏微分方程的残差来调整深度学习模型，为给定的流体动力学问题提供解析且可微分的解决方案(5)。

在具体实现中，研究人员提出了使用基于 U-Net 架构的卷积神经网络来高效表示和重建输入输出场。通过将 Navier-Stokes 方程和边界条件引入损失函数，物理驱动的 CNN 被设计为直接预测相应的稳态流场。该方法在圆柱绕流等典型算例中实现了一阶精度，能够学习不同的流动状态并正确预测附着的 "双涡" 结构(47)。

物理信息神经网络（PINN）是该领域的重要进展。在主动脉血流建模中，研究人员基于 PINN 提出了新的压力估计方法，使用无量纲 Navier-Stokes 方程和连续性方程作为 PINN 的损失函数来计算速度和相对压力场。后处理过程根据相对压力、弹性模量和血管壁位移之间的线性关系拟合主动脉的绝对压力，在感兴趣的主动脉区域，最大和平均绝对压力的相对误差均小于 3%(81)。

3.1.2 降阶模型与 DNN 结合

降阶模型（Reduced Order Model, ROM）与深度神经网络的结合为 CFD 仿真提供了高效的替代方案。传统的 POD（本征正交分解）方法虽然有效，但在处理空间域中移动的模式（如行波）时存在局限性。相比之下，基于 Transformer 的方法能够动态检测空间相关性和模式，并根据检测到的模式即时计算下一状态。

在具体应用中，研究人员提出了结合主成分分析（PCA）和双向长短期记忆网络（Bi-LSTM）的 PBLSTM ROM 方法，用于捕获流化床的复杂时空动力学。该方法通过结合 PCA 和 Bi-LSTM 网络，有效提取了动态演化信息而无需控制方程的先验知识，实现了非稳态流场的降阶建模。与传统 CFD 仿真相比，PBLSTM ROM 将仿真速度提高了五个数量级。

在复杂几何形状的处理方面，因子化隐式全局卷积（FIGConv）架构提供了新的解决方案。该架构通过因子化隐式网格近似高分辨率域，通过 2D 重参数化实现高效全局卷积，并采用 U 型架构进行有效信息收集和集成，成功解决了任意输入输出几何形状的大型 3D 网格 CFD 问题。在 DrivAerNet 数据集上，该模型实现了 0.95 的 R² 值用于阻力预测，相比之前的最先进方法在相对均方误差上提高了 40%，在绝对均方误差上提高了 70%(7)。

3.2 误差修正策略

3.2.1 残差网络与多尺度修正

残差网络通过引入跳跃连接，使网络能够学习残差映射而非直接学习完整的输入输出关系，这在 CFD 误差修正中具有重要应用价值(36)。在大规模地质系统的流体流动预测中，研究人员提出了结合残差 U-Net 和自回归策略的深度神经网络模型。该模型通过丰富的跳跃连接促进信息传播，以较少的参数实现了更好的预测性能，能够准确预测非均质二维二元模型中溶质运移的迁移过程(36)。

在 CFD 求解器加速方面，研究人员提出了多种误差修正方法。CFDNet 框架通过在迭代求解器的基础上引入 CNN 预测，实现了显著的加速效果。该框架首先让数值求解器执行迭代步骤直到残差降至预定阈值以下，然后使用 CNN 评估最后一次迭代的输出以获得近似解，并将其作为第二次运行数值求解器的初始猜测。当 CFDNet 针对椭圆圆柱绕流仿真进行训练时，在 NACA 翼型绕流推理中实现了 2 到 3 倍的总加速，同时仍满足所需的收敛要求(4)。

在粗网格 CFD 仿真增强方面，研究人员提出了基于深度神经网络架构的机器学习技术，用于修正高雷诺数湍流流动粗网格仿真引起的数值误差，同时恢复高分辨率场的估计。该方法是一种混合 ML-PDE 求解器，能够在较低分辨率下求解系统 PDE 的同时获得有意义的高分辨率解轨迹，在二维湍流 Rayleigh-Bénard 对流问题上证明了该策略的概念可行性(48)。

3.2.2 梯度增强与自适应学习

梯度增强技术通过集成多个弱学习器来构建强预测模型，在 CFD 应用中展现出良好的性能。在燃烧模拟领域，研究人员开发了基于深度学习的氢气湍流燃烧仿真框架 CFDNN，该框架基于优化的深度卷积神经网络，灵感来自 U-Net 架构和 Inception 模块。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，不仅能够准确预测训练集范围内的流场和燃烧场，还显示出对训练集外预测的外推能力，相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

自适应学习策略在 CFD-DNN 耦合中也发挥重要作用。在非平衡反应流仿真中，研究人员提出了自适应物理信息神经算子，通过分层自适应深度学习策略结合降维和神经算子，学习化学动力学的多尺度粗粒化控制方程的解。该代理模型的架构被构建为树状结构，叶节点代表独立的神经算子块，其中物理以多个软约束和硬约束的形式嵌入。分层属性具有两个优势：允许通过从最慢时间尺度开始的迁移学习简化训练阶段；通过基于气体的局部非平衡程度将代理评估限制在必要的叶节点来加速预测步骤。

3.3 湍流建模中的 DNN 应用

3.3.1 DNS/LES 与机器学习结合

直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）与机器学习的结合为湍流建模提供了新的解决方案。在 LES 应用中，研究人员提出了深度学习 PDE 增强方法（DPM），该框架利用已知物理减少机器学习在科学应用中的过拟合。表达物理的偏微分方程通过神经网络增强，该网络使用可用数据学习相应未知或未表示物理的描述。在降阶各向同性湍流的高保真直接数值模拟提供的训练数据上，该方法学习过滤 Navier-Stokes 方程的亚网格尺度闭合，在样本外比较中显示出优于广泛使用的模型的性能(52)。

在湍流建模的发展历程中，实验和直接仿真的湍流数据传统上用于校准基于雷诺平均 Navier-Stokes（RANS）方程的简单工程模型。近年来，随着大型多样化数据集的可用性，研究人员开始探索系统地用数据告知湍流模型的方法，目标是量化和减少模型不确定性。通过利用湍流建模和物理约束的基础知识，数据驱动方法能够产生有用的预测模型(55)。

3.3.2 壁面建模与亚格子尺度建模

壁面建模是湍流模拟中的关键挑战之一，深度学习在这一领域展现出巨大潜力。在城市风场仿真中，研究人员开发了基于卷积神经网络的湍流建模框架，用于建模城市风场中的湍流。CNN 模型通过学习高保真数据集的雷诺应力模式和空间相关性进行训练，然后集成到 CFD 求解器中生成准确连续的流场。该框架在简化基准配置上初步证明了泛化能力，然后应用于城市风环境的案例研究，能够准确预测孤立建筑物周围的速度场(11)。

在亚格子尺度建模方面，研究人员提出了用于湍流通道流快速预测的隐式因子化 Transformer 方法。改进的 IFactFormer-m 模型通过将原始链式因子化注意力替换为并行因子化注意力，成功实现了湍流通道流的长期预测。与其他神经算子和传统大涡模拟方法（包括动态 Smagorinsky 模型（DSM）和壁面自适应局部涡粘性（WALE）模型）相比，IFactFormer-m 在短期内减少了预测误差，并实现了各种统计特性和流动结构的稳定准确长期预测，包括能谱、平均流向速度、脉动速度的均方根值、雷诺剪切应力和瞬时速度的空间结构(26)。

在 RANS 湍流建模中，研究人员结合数据同化和机器学习来修正 RANS Spalart-Allmaras 湍流模型。最终的神经网络贡献是 Boussinesq 修正，而不是湍流涡粘性调整。在不同雷诺数和几何形状的周期性山丘流动中选择了案例来展示机器学习增强湍流模型的潜在收益。

3.4 其他耦合策略

3.4.1 多物理场耦合中的 DNN 应用

多物理场耦合问题涉及流体力学与传热、化学反应、电磁学等多种物理过程的相互作用，深度神经网络在这一领域展现出独特的优势。在氢能湍流燃烧仿真中，研究人员开发了基于深度学习的框架，设计了受 U-Net 架构和 Inception 模块启发的优化深度卷积神经网络 CFDNN。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，能够准确预测流场和燃烧场，在训练集范围内和外推预测中都表现出色，相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

在旋转窑温度场预测中，研究人员提出了基于图神经网络的 CLJPNet 模型，用于快速预测旋转窑的整体温度场。该模型使用 Cleary-Luby-Jones-Plassmann 粗化算法在多代数格中稀疏化图拓扑结构，在保持高精度的同时加速推理速度。实验结果表明，该模型在测试集上实现了 0.99 的决定系数（R²）、710.63 的均方误差、1.64 的平均绝对百分比误差和 0.02 的感兴趣区域平均相对误差，所有评估指标都优于其他模型，运行速度比 CFD 模型快 3 个数量级(71)。

3.4.2 实时仿真与在线优化

实时仿真和在线优化是 CFD-DNN 耦合的重要应用方向，特别是在需要快速决策的工程场景中。在桥梁工程中，研究人员提出了基于 LSTM 网络的降阶模型，用于模拟具有各种前缘形状的桥梁断面的非线性气动弹性力。该模型以桥梁断面运动、前缘角度和风速为输入，输出非线性气动弹性力，在高保真 CFD 数据集上训练后，能够快速预测相应的后颤振行为，为大跨度桥梁的设计提供了重要工具(19)。

在建筑能源仿真中，研究人员开发了结合神经网络和 Modelica 的耦合仿真框架，用于考虑非均匀室内环境的快速建筑能源仿真。作为 CFD 的替代，用于实现室内空气分布快速准确预测的神经网络与基于 Modelica 的能源仿真程序耦合。该框架在 24 小时物理过程的仿真中仅需 52 秒，相比 CFD 与 BES 的耦合仿真减少了约 94% 的计算时间。

在汽车设计优化中，研究人员提出了基于深度学习的几何过滤方法用于高效气动形状优化。该方法基于深度卷积生成对抗网络训练学习现有翼型的潜在特征，能够生成比其他采样方法更真实的样本翼型。此外，基于卷积神经网络开发了判别模型，能够快速检测翼型或机翼截面的几何异常而无需使用昂贵的 CFD 模型。与传统方法相比，该模型能够将优化效率提高一倍(65)。

  4. DNN-CFD 在各领域的应用

4.1 航空航天领域

4.1.1 气动设计优化

在航空航天领域，深度神经网络在气动设计优化中发挥着越来越重要的作用。传统的气动形状优化（Aerodynamic Shape Optimization, ASO）需要大量的 CFD 仿真，计算成本高昂。机器学习技术的引入为这一问题提供了革命性的解决方案(63)。

在具体应用中，研究人员提出了基于深度神经网络的高维气动数据建模方法。该方法以类似 Sanger 航天飞机运载机翼的高超音速机翼为测试案例，通过自由变形方法对机翼进行参数化，定义了 109 个包含飞行状态和气动形状变量的模型输入。使用拉丁超立方采样方法生成的 7000 多个采样点通过雷诺平均 Navier-Stokes 流动求解器进行 CFD 仿真评估，建立了气动数据库。训练好的 CNN 模型考虑了飞行状态和形状变量，应用于气动形状优化以展示其在多个飞行状态下实现快速优化的能力。

在气动系数预测方面，研究人员开发了基于深度残差神经网络的方法，用于预测由于烧蚀引起形状变化的三维锥体的气动系数变化。该方法使用深度残差神经网络和 K 折交叉验证，训练模型学习形状变换与相应气动系数变化之间的潜在关系。基于训练过程构建的多个（K）模型被组合以有效减少预测方差，集成模型在各种气动系数上显示出改进的预测性能。

4.1.2 流动控制与多物理场耦合

在流动控制领域，深度学习技术为复杂流动现象的理解和控制提供了新的工具。在不可压缩流体动力学学习方面，研究人员提出了一种新颖的物理约束训练方法，该方法能够泛化到新的流体域，无需流体仿真数据，并允许卷积神经网络在单次前向传播中将流体状态从时间点 t 映射到 t+dt 的后续状态。训练后的框架产生的模型能够进行快速流体仿真，并能处理包括马格努斯效应和卡门涡街在内的各种流体现象，在 100×100 网格上以超过 300 次迭代 / 秒的速度运行(9)。

在多物理场耦合方面，研究人员开发了结合可微分 PDE 求解器和图神经网络的混合架构，用于流体流动预测。该系统有两个主要组件：首先构建图卷积网络（GCN），直接在典型 CFD 仿真任务中使用的非均匀网格上操作；其次，将在更粗糙分辨率上运行的（可微分）CFD 求解器直接嵌入到 GCN 本身中。该方法在更粗糙分辨率表示上运行实际 CFD 仿真器，既保持了对新情况的良好泛化能力，又从神经网络 CFD 预测的大幅加速中受益，同时显著优于单独的粗糙 CFD 仿真(35)。

4.2 能源动力领域

4.2.1 燃烧模拟与优化

在能源动力领域，深度学习在燃烧模拟和优化中展现出巨大潜力。在氢气湍流燃烧仿真中，研究人员开发了基于深度学习的框架，设计了受 U-Net 架构和 Inception 模块启发的优化深度卷积神经网络 CFDNN。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，不仅能够准确预测训练集范围内的流场和燃烧场，还显示出对训练集外预测的外推能力。CFDNN 求解器的结果在预测空间分布和时间动力学方面与传统 CFD 结果显示出优异的一致性，同时相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

在旋转窑温度场预测中，研究人员提出了基于图神经网络的 CLJPNet 模型，用于快速预测旋转窑的整体温度场。该模型使用 Cleary-Luby-Jones-Plassmann 粗化算法在多代数格中稀疏化图拓扑结构，在保持高精度的同时加速推理速度。实验结果表明，该模型在测试集上实现了 0.99 的决定系数（R²）、710.63 的均方误差、1.64 的平均绝对百分比误差和 0.02 的感兴趣区域平均相对误差，所有评估指标都优于其他模型，运行速度比 CFD 模型快 3 个数量级(71)。

4.2.2 换热器与涡轮机械设计

在换热器设计优化中，研究人员结合机器学习和 CFD 仿真进行了生物质流化床气化建模。该耦合模型基于机器学习和计算流体动力学，旨在提高复杂热化学反应过程的预测精度和计算效率。通过基于实验数据和高保真仿真结果构建高质量数据集，训练用于描述反应动力学特性的代理模型，并将其嵌入到 CFD 框架中以实现反应速率和组成演化的实时更新(34)。

在涡轮机械设计方面，研究人员开发了基于雷诺平均 Navier-Stokes 仿真和深度学习的同轴喷射器代理建模方法。该方法以单同轴喷射器的实验测试案例作为参考点，通过改变九个参数（几何和操作条件）生成实验设计。进行雷诺平均 Navier-Stokes 仿真以生成数据集，数据用于训练不同保真度的代理模型，从低维输出（0D 和 1D）到 2D 温度场。对于低维输出，结果表明深度神经网络优于其他标准机器学习工具，即径向基函数和克里金法。对于高维输出，发现具有基于梯度的损失函数的卷积神经网络能够有效捕获大而平滑的温度变化以及火焰前沿的薄而尖锐的温度梯度。

在超临界 CO2 流动建模中，研究人员提出了基于人工神经网络的无叶扩压器建模方法。现有的使用入口雷诺数单独表征 VLD 表面摩擦系数的经验关系与 CFD 数据相比显示出较差的相关性（R² = 0.26），显然需要数据驱动的方法来建模 sCO2 VLD 真实气体流动以获得准确结果。使用拉丁超立方采样数据，证明了基于人工神经网络（ANN）模型的有效性，开发的双隐藏层 ANN 能够准确预测 sCO2 真实气体流动的表面摩擦系数（R² = 0.87）(68)。

4.3 汽车工程领域

4.3.1 空气动力学优化

在汽车工程领域，深度学习在空气动力学优化中发挥着越来越重要的作用。DrivAerNet++ 作为最大最全面的汽车空气动力学多模态数据集，包含 8000 个用高保真 CFD 仿真建模的多样化汽车设计。该数据集支持广泛的机器学习应用，包括数据驱动的设计优化、生成建模、代理模型训练、CFD 仿真加速和几何分类。拥有超过 39TB 的公开工程数据，DrivAerNet++ 填补了可用资源的重大空白，提供高质量、多样化的数据以增强模型训练、促进泛化并加速汽车设计过程(74)。

在具体的技术实现中，研究人员提出了因子化隐式全局卷积（FIGConv）架构，用于汽车 CFD 预测。该架构通过因子化隐式网格近似高分辨率域，通过 2D 重参数化实现高效全局卷积，并采用 U 型架构进行有效信息收集和集成。在 DrivAerNet 数据集上，该模型实现了 0.95 的 R² 值用于阻力预测，相比之前的最先进方法在相对均方误差上提高了 40%，在绝对均方误差上提高了 70%(76)。

在流场估计方面，研究人员提出了使用 3D 卷积神经网络的快速估计模型。该方法采用风格提取器获得每个车辆形状的充分深度特征，并应用自适应实例归一化以改善估计性能。此外，提出的损失函数主要包括切片加权损失函数，用于训练估计模型。研究结果表明，该方法优于以前的研究，特别是在尾流区域和车辆表面附近区域的流场估计方面(84)。

4.3.2 发动机仿真与热管理

在发动机仿真方面，研究人员开发了结合机器学习和 CFD 的船舶配平优化方法。该研究提出了配平优化作为能效改进措施的综合方法，重点是减少一艘 RO-RO 汽车运输船的燃料消耗。利用 CFD 软件，该方法结合人工神经网络开发数学模型，用于估计关键参数，如制动功率、日燃油消耗（DFOC）和螺旋桨速度。复杂的 ANN 模型随后集成到用户友好的软件工具中用于实际工程应用。基于配平优化结果，最大 DFOC 在 7.5 米吃水时高达 10.5%，在更高吃水时高达 8%(69)。

在新能源汽车热管理中，研究人员开发了用于极端风速下太阳能电池板倾斜角度优化的机器学习和 CFD 结合方法。该方法将在湍流大气边界层风流中同时优化多个面板倾斜角度的任务建模为马尔可夫决策过程，并用单步深度强化学习算法解决。输入神经网络的数值奖励来自结合 Navier-Stokes 方程变分多尺度建模和各向异性边界层网格自适应的高保真数值仿真。该方法成功最小化了六块地面安装面板在 50 km/h 入射风速下的二维和三维布置上的气动力，同时比文献中考虑的基线保护实践好几十百分点。

4.4 生物医学工程领域

4.4.1 血流动力学模拟

在生物医学工程领域，深度学习在血流动力学模拟中展现出重要应用价值。在主动脉血流的快速可靠估计方面，研究人员开发了深度神经网络，用于快速全面估计主动脉血流的最显著特征，包括速度大小和方向、3D 压力和壁面剪切应力。从 40 个从 4D Flow MRI 获得的特定于受试者的主动脉几何形状开始，应用统计形状建模生成 1000 个合成主动脉几何形状。对这些几何形状进行完整的 CFD 仿真以获得真实值，然后使用 900 个随机选择的主动脉几何形状为每个特征流动特征训练深度神经网络。在剩余 100 个几何形状上的测试导致速度平均误差为 3.11%，压力平均误差为 4.48%。对于壁面剪切应力预测，应用了两种方法：直接从神经网络预测的速度导出；从单独的神经网络预测。两种方法都产生了相似的精度，与完整的 3D CFD 结果相比平均误差分别为 4.8% 和 4.7%(73)。

在动脉血压预测方面，研究人员提出了使用物理信息神经网络从非侵入性 4D 流 MRI 数据预测动脉血压的机器学习框架。该框架能够无缝合成非侵入性体内测量技术和源自第一物理原理的计算流动动力学模型。通过展示如何使用脉动流的一维模型来约束深度神经网络的输出，使其预测满足质量和动量守恒原理。在流动和壁面位移的噪声和分散临床数据上训练后，这些网络可以返回速度、压力和壁面位移脉搏波传播的物理一致预测，所有这些都无需使用传统仿真器(77)。

4.4.2 呼吸力学与药物输送

在血流预测方面，研究人员开发了使用机器学习和浸入边界格子玻尔兹曼方法的狭窄动脉血流快速预测混合框架。该集成框架结合了浸入边界方法处理复杂边界的优异能力、多松弛时间 LBM 对非稳态流动的高效建模以及深度神经网络在人工学习方面的高效率。具体而言，狭窄动脉由二维情况的通道或三维情况的管子建模，狭窄由五阶多项式近似。采用 IB-LBM 为 DNN 获得训练数据，DNN 被构建为生成用于快速流动预测的近似模型。在 DNN 中，输入是狭窄的特征参数和流体节点坐标，输出是每个节点的平均速度和压力。为了表征复杂狭窄，构建卷积神经网络以使用上述多项式生成的数据提取狭窄特性(83)。

在冠状动脉血流建模中，研究人员进行了几何深度学习模型在冠状动脉网格上学习血流动力学标量场的基准研究。该研究分为两个主要部分：首先使用 1500 个左冠状动脉合成分叉的数据集，每个模型被训练预测各种压力相关场，从中重建 vFFR 场；其次使用来自该团队先前研究的 427 个特定于患者的 CFD 仿真数据集。研究发现，当学习歧管上的压降时，大多数后端在合成数据集上取得了很好的性能。对于其他网络输出变量（如压力和 vFFR 场），基于 Transformer 的后端优于所有其他架构。当在特定于患者的数据上训练时，基于 Transformer 的架构是唯一在平均逐点误差和准确预测狭窄病变中的 vFFR 方面都取得强性能的架构(85)。

  5. 技术发展趋势与挑战

5.1 技术发展趋势

5.1.1 硬件加速与并行计算

随着 GPU、TPU 等专用硬件的快速发展，深度神经网络在 CFD 中的应用正朝着更高性能和更低延迟的方向发展。在流体动力学建模方面，研究人员开发了 Physics-Driven 的不可压缩 Navier-Stokes 方程学习方法，该方法允许卷积神经网络在单次前向传播中将流体状态从时间点 t 映射到 t+dt 的后续状态。训练后的模型能够进行快速流体仿真，并能处理包括马格努斯效应和卡门涡街在内的各种流体现象，在 100×100 网格上以超过 300 次迭代 / 秒的速度运行(9)。

在实际应用中，神经网络模型在预测新设计方面通常能够实现近实时（即少于 5 秒）的性能，在单个 GPU 上训练通常少于 1 小时。然而，仍然需要来自传统 CFD 方法的高质量训练数据和高保真 CFD 仿真来验证 ML 预测。因此，ML 方法应被视为增强传统 CFD 方法的工具，而不是替代它们(88)。

5.1.2 多模态融合与迁移学习

多模态融合技术通过结合不同类型的数据（如图像、点云、网格等）来提高模型性能，在 CFD 应用中展现出巨大潜力。DrivAerNet++ 数据集包含 8000 个多样化汽车设计的高保真 CFD 仿真，支持广泛的机器学习应用，包括数据驱动的设计优化、生成建模、代理模型训练、CFD 仿真加速和几何分类。该数据集包含详细的 3D 网格、参数化模型、气动系数和广泛的流动和表面场数据，以及用于汽车分类的分段部件和点云数据(74)。

迁移学习在 CFD-DNN 应用中也发挥着重要作用。在超分辨率任务的迁移学习方面，研究人员提出了两种方法：即一次性学习和增量学习。两种方法都只需要在一个高分辨率流场训练数据集上进行迁移学习，相比微小分辨率（64×256）的粗糙模型，在 256× 更大的输入分辨率上求解 Navier-Stokes 方程时，在四个测试几何形状和八个训练期间未见过的流动配置上，观察到比 OpenFOAM 物理求解器一致的 2-2.1 倍加速(70)。

5.2 面临的挑战

5.2.1 数据质量与泛化能力

高质量训练数据的获取是 CFD-DNN 应用面临的主要挑战之一。传统 CFD 仿真生成高保真训练数据成本昂贵，而数据的数量和质量直接影响模型的泛化能力。在汽车空气动力学领域，现有数据集存在根本性限制 —— 网格分辨率不足、缺少车辆组件以及验证误差超过 5%—— 阻碍了在工业工作流程中的部署。为此，研究人员开发了 DrivAerStar 数据集，包含使用 STAR-CCM+® 软件生成的 12000 个工业级汽车 CFD 仿真，通过严格的壁面 y + 控制的精细网格策略实现了低于 1.04% 的风洞验证精度，比现有数据集提高了五倍(80)。

泛化能力是另一个关键挑战。专门的数据驱动流动仿真器经常面临外推性能差、时间相关仿真中的误差累积以及训练湍流流动的困难。因此，大量努力正在投入到可能改善当前技术水平的方法中(5)。在湍流建模中，机器学习模型的准确性在应用于训练数据集之外的流动案例时经常降低。为了改善数据驱动模型对扩展案例集的预测准确性，研究人员提出了 CFD 驱动训练框架的扩展，包括三个关键步骤：首先选择候选流动相关参数列表以补充 Pope 的通用张量基假设；其次，建模额外的生产项可能在某些情况下有利于整体预测；最后，在模型训练迭代期间同时对几个不同的流动进行候选模型的雷诺平均 Navier-Stokes 评估(57)。

5.2.2 物理约束与可解释性

物理约束的有效集成是 CFD-DNN 应用中的重要挑战。虽然基于物理约束的方法能够减少对大量训练数据的依赖，但如何在神经网络架构中合理嵌入复杂的物理定律仍然需要深入研究。在基于物理的机器学习方法中，研究人员提出了将控制方程和边界条件直接引入损失函数的方法，通过最小化 Navier-Stokes 方程和边界条件的残差来调整深度学习模型。该方法在圆柱绕流等典型算例中实现了一阶精度，能够学习不同的流动状态并正确预测附着的 "双涡" 结构(47)。

可解释性是深度学习在 CFD 应用中面临的另一个重要挑战。深度神经网络通常被视为 "黑盒" 模型，难以解释其决策过程和物理意义。在湍流建模的挑战和前景中，研究人员指出，统计推断算法、机器学习和不确定性量化方法的并发增强，结合可用数据的增长，正在激发对湍流建模的新兴趣。然而，仍然需要在物理约束和机器学习能力之间找到平衡，以产生既准确又可解释的模型(55)。

  6. 结论与展望

6.1 主要研究成果总结

本综述系统梳理了 2020-2025 年间深度神经网络在 CFD 计算中的应用进展，主要研究成果包括：

在 DNN 架构应用方面，卷积神经网络（CNN）已成为稳态流场预测的主流方法，U-Net 架构通过跳跃连接显著提升了流场重建精度；循环神经网络（RNN）及其变体 LSTM 在处理时间序列特征的非稳态流动问题中展现优势；Transformer 架构凭借其全局感知能力，在捕捉流体流动长程相关性方面取得突破；图神经网络（GNN）为非结构化网格 CFD 数据处理提供了有效解决方案。

在耦合策略方面，基于物理约束的神经网络通过将控制方程嵌入损失函数，减少了对训练数据的依赖；降阶模型与 DNN 的结合实现了计算效率的大幅提升；误差修正策略通过残差网络和多尺度修正提高了预测精度；在湍流建模中，DNS/LES 与机器学习的结合为亚格子尺度建模提供了新途径。

在应用领域方面，航空航天领域在气动设计优化和流动控制方面取得重要进展；能源动力领域在燃烧模拟和热管理系统优化中展现出巨大潜力；汽车工程领域在空气动力学优化和新能源汽车热管理方面取得显著成果；生物医学工程领域在血流动力学模拟和医疗器械设计中发挥重要作用。

6.2 未来发展方向

基于当前研究现状和技术发展趋势，未来 DNN-CFD 融合技术的发展方向包括：

多物理场耦合深度学习：随着工业应用需求的不断提高，多物理场耦合问题将成为研究重点。未来需要开发能够同时处理流体力学、传热、化学反应、电磁学等多种物理过程的统一深度学习框架，实现真正的多物理场智能仿真。

自适应与在线学习：开发具有自适应能力的 DNN-CFD 系统，能够根据实时流场特征自动调整模型结构和参数。在线学习技术的引入将使系统能够不断从新的 CFD 仿真数据中学习，持续提升预测精度和泛化能力。

量子机器学习集成：随着量子计算技术的发展，量子机器学习在 CFD 中的应用前景广阔。量子神经网络可能在处理高维复杂流体问题时展现出超越经典算法的优势，特别是在大规模并行计算和复杂优化问题中。

边缘计算与实时仿真：将 DNN-CFD 技术部署到边缘设备，实现实时流体仿真和决策支持。这对于自动驾驶、无人机飞行控制、智能医疗设备等实时应用场景具有重要意义。

标准化与产业化：建立统一的 DNN-CFD 应用标准和评估体系，推动相关技术的产业化应用。需要加强学术界与工业界的合作，共同解决技术挑战，促进创新成果的转化应用。

深度神经网络与计算流体力学的融合正处于快速发展阶段，展现出巨大的应用潜力和广阔的发展前景。随着技术的不断进步和应用需求的持续增长，DNN-CFD 融合技术必将在更多领域发挥重要作用，推动相关产业的智能化升级和创新发展。

参考资料

[1] Convolutional Neural Networks for Steady Flow Approximation https://www.researchgate.net/profile/Xiaoxiao-Guo-7/publication/305997840_Convolutional_Neural_Networks_for_Steady_Flow_Approximation/links/5c1404b8a6fdcc494ff510a3/Convolutional-Neural-Networks-for-Steady-Flow-Approximation.pdf

[2] CFD simulation and measurement and control analysis of the ambient temperature field of agricultural greenhouses https://amns.sciendo.com/pdf/10.2478/amns-2025-0126

[3] Accelerating Eulerian Fluid Simulation With Convolutional Networks http://proceedings.mlr.press/v70/tompson17a/tompson17a.pdf

[4] CFDNet: A deep learning-based accelerator for fluid simulations https://arxiv.org/pdf/2005.04485

[5] Current and emerging deep-learning methods for the simulation of fluid dynamics https://spiral.imperial.ac.uk/bitstream/10044/1/106541/2/rspa.2023.0058.pdf

[6] Deep Fluids: A Generative Network for Parameterized Fluid Simulations https://arxiv.org/pdf/1806.02071

[7] Factorized Implicit Global Convolution for Automotive Computational Fluid Dynamics Prediction https://openreview.net/pdf?id=YNQF003Ad3

[8] SURROGATE CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORK MODELS FOR STEADY COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS SIMULATIONS https://etna.math.kent.edu/vol.56.2022/pp235-255.dir/pp235-255.pdf

[9] LEARNING INCOMPRESSIBLE FLUID DYNAMICS FROM SCRATCH - TOWARDS FAST, DIFFERENTIABLE FLUID MODELS THAT GENERALIZE https://arxiv.org/pdf/2006.08762

[10] DeepCFD: Efficient Steady-State Laminar Flow Approximation with Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2004.08826

[11] Application of convolutional neural network for efficient turbulence modeling in urban wind field simulation https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/4Yqn2XR4/

[12] A Deep Learning Framework for Hydrogen-fueled Turbulent Combustion Simulation https://discovery.ucl.ac.uk/10106227/7/Luo%202020%20IJHE%20DL%20accepted.pdf

[13] Establishment and validation of a relationship model between nozzle experiments and CFD results based on convolutional neural network https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/4Mw8rnx9/

[14] Physics-Driven Learning of the Steady Navier-Stokes Equations using Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2106.09301

[15] Use of Convolutional Neural Network for multi-fidelity CFD problems https://webthesis.biblio.polito.it/secure/37497/1/tesi.pdf

[16] Bayesian Optimized Deep Ensemble for Uncertainty Quantification of Deep Neural Networks: a System Safety Case Study on Sodium Fast Reactor Thermal Stratification Modeling https://arxiv.org/pdf/2412.08776

[17] The Potential of Machine Learning to Enhance Computational Fluid Dynamics https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Vinuesa/publication/355092872_The_Potential_of_Machine_Learning_to_Enhance_Computational_Fluid_Dynamics/links/61712189750da711ac620c94/The-Potential-of-Machine-Learning-to-Enhance-Computational-Fluid-Dynamics.pdf

[18] A novel deep learning approach for flow field prediction around airfoils leveraging computational space representation https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/7BYa55B9/

[19] Modeling Nonlinear Aeroelastic Forces for Bridge Decks with Various Leading Edges Using LSTM Networks https://www.mdpi.com/2076-3417/13/10/6005/pdf?version=1683970444

[20] UTransNet: An efficient hybrid architecture of convolutional neural networks and transformer for the approximation of non-uniform steady laminar flow https://www.semanticscholar.org/paper/UTransNet:-An-efficient-hybrid-architecture-of-and-Wang-Yin/a8228ced757c9515c659cad0fcbd0a5b43a0afe4

[21] Model identification of reduced order fluid dynamics systems using deep learning https://www.researchgate.net/profile/Dunhui-Xiao/publication/318430079_Model_identification_of_reduced_order_fluid_dynamics_systems_using_deep_learning/links/64815dc22cad460a1bfc5688/Model-identification-of-reduced-order-fluid-dynamics-systems-using-deep-learning.pdf

[22] Reduced-order modeling of fluid flows with transformers https://pubs.aip.org/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0151515/17720097/057126_1_5.0151515.pdf

[23] Universal Physics Transformers: A Framework For Efficiently Scaling Neural Operators https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/2cd36d327f33d47b372d4711edd08de0-Paper-Conference.pdf

[24] Machine learning the kinematics of spherical particles in fluid flows https://sandlab-mit-edu.ezproxy.canberra.edu.au/wp-content/uploads/18_JFM.pdf

[25] A new fluid flow approximation method using a vision transformer and a U-shaped convolutional neural network https://pubs.aip.org/aip/adv/article-pdf/doi/10.1063/5.0138515/16759425/025233_1_online.pdf

[26] Implicit factorized transformer approach to fast prediction of turbulent channel flows https://arxiv.org/pdf/2412.18840

[27] Using LSTM Predictions for RANS Simulations https://arxiv.org/pdf/2411.11723

[28] AMR-Transformer: Enabling Efficient Long-range Interaction for Complex Neural Fluid Simulation https://arxiv.org/pdf/2503.10257

[29] POSEIDON: Efficient Foundation Models for PDEs https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/84e1b1ec17bb11c57234e96433022a9a-Paper-Conference.pdf

[30] A REVIEW ON DEEP REINFORCEMENT LEARNING FOR FLUID MECHANICS A PREPRINT https://arxiv.org/pdf/1908.04127

[31] BCAT: A Block Causal Transformer for PDE Foundation Models for Fluid Dynamics https://arxiv.org/pdf/2501.18972

[32] FluidGPT-1: a proof-of-concept model for attention-based flow pattern generation in CFD https://www.aifluids.net/proceedings/S4P1.pdf

[33] Autoregressive transformers for data-driven spatiotemporal learning of turbulent flows https://pubs.aip.org/aip/aml/article-pdf/18198769/046101_1_5.0152212.pdf

[34] A novel biomass fluidized bed gasification model coupled with machine learning and CFD simulation https://arxiv.org/pdf/2509.06056

[35] Combining Differentiable PDE Solvers and Graph Neural Networks for Fluid Flow Prediction https://arxiv.org/pdf/2007.04439

[36] Deep residual U-net convolution neural networks with autoregressive strategy for fluid flow predictions in large-scale geosystems https://www.researchgate.net/profile/Zhihao-Jiang-3/publication/349435884_Deep_Residual_U-net_Convolution_Neural_Networks_with_Autoregressive_Strategy_for_Fluid_Flow_Predictions_in_Large-scale_Geosystems/links/603303114585158939bea333/Deep-Residual-U-net-Convolution-Neural-Networks-with-Autoregressive-Strategy-for-Fluid-Flow-Predictions-in-Large-scale-Geosystems.pdf

[37] Deep-learning-based surrogate flow modeling and geological parameterization for data assimilation in 3D subsurface flow https://arxiv.org/pdf/2007.13326

[38] A scalable convolutional neural network approach to fluid flow prediction in complex environments https://discovery.researcher.life/article/a-scalable-convolutional-neural-network-approach-to-fluid-flow-prediction-in-complex-environments/fcf9c34465e036b999a197eef9e38a21

[39] Deep Learning Methods for Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations of Airfoil Flows https://arxiv.org/pdf/1810.08217

[40] Fast Aquatic Swimmer Optimization with Differentiable Projective Dynamics and Neural Network Hydrodynamic Models https://arxiv.org/pdf/2204.12584

[41] Surrogate convolutional neural network models for steady computational fluid dynamics simulations https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/148435446/pp235_255.pdf

[42] A residual graph convolutional network for setting initial flow field in computational fluid dynamics simulations https://www.semanticscholar.org/paper/A-residual-graph-convolutional-network-for-setting-Zhang-Sun/c0af5e588289d8199afc78b5eed615001b0464c2

[43] Approaching Partial Differential Equations with Physics-Driven Deep Learning https://bonndoc.ulb.uni-bonn.de/xmlui/bitstream/handle/20.500.11811/11184/7353.pdf;jsessionid=5903BF0593B2F899B06E1D17541506B9?sequence=2

[44] DeepCFD: Efficient Steady-State Laminar Flow Approximation with Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2004.08826

[45] Flow completion network: Inferring the fluid dynamics from incomplete flow information using graph neural networks https://pubs.aip.org/aip/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0097688/16589543/087114_1_online.pdf

[46] Physics-constrained and flow-field-message-informed graph neural network for solving unsteady compressible flows https://pubs.aip.org/aip/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0200168/19904369/046123_1_5.0200168.pdf

[47] Physics-Driven Learning of the Steady Navier-Stokes Equations using Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2106.09301

[48] Using Machine Learning to Augment Coarse-Grid Computational Fluid Dynamics Simulations https://arxiv.org/pdf/2010.00072

[49] Machine learning based Reynolds averaged simulation of backward-facing step flows at different Reynolds numbers https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217984921504303

[50] Quantifying model form uncertainty in Reynolds-averaged turbulence models with Bayesian deep neural networks https://arxiv.org/pdf/1807.02901

[51] Improving Pseudo-Time Stepping Convergence for CFD Simulations With Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2310.06717

[52] DPM: A deep learning PDE augmentation method with application to large-eddy simulation https://arxiv.org/pdf/1911.09145

[53] Characterizing the acceleration time of laser-driven ion acceleration with data-informed neural networks https://www.semanticscholar.org/paper/Characterizing-the-acceleration-time-of-ion-with-Djordjevi%C4%87-Kemp/a626eaf8321dc541f878e6b5d2333c3cfd177c66

[54] The coupled deep neural networks for coupling of the Stokes and Darcy–Forchheimer problems https://www.semanticscholar.org/paper/The-coupled-deep-neural-networks-for-coupling-of-Yue-Li/0247b16120513db5c83ed5b952c228a2fe398207

[55] Turbulence Modeling in the Age of Data https://arxiv.org/pdf/1804.00183

[56] Fast and Accurate Prediction Method for Indoor Air Distribution Using Deep Learning https://www.semanticscholar.org/paper/Fast-and-Accurate-Prediction-Method-for-Indoor-Air-Ooka-Zhou/786c7325803268937ae1871e406411b29f38d9c6

[57] Toward More General Turbulence Models via Multicase Computational-Fluid-Dynamics-Driven Training https://www.semanticscholar.org/paper/Toward-More-General-Turbulence-Models-via-Multicase-Fang-Zhao/2fde8c28019fa09f2865f3b3013b6159f32969f6

[58] Learning to correct spectral methods for simulating turbulent flows https://arxiv.org/pdf/2207.00556

[59] Graph neural networks for laminar flow prediction around random 2D shapes https://arxiv.org/pdf/2107.11529

[60] Towards Machine Learning Applications for Computational Fluid Dynamics Modeling in Chemical Engineering https://www.researchgate.net/profile/Safae-Elmisaoui/publication/371488681_Towards_Machine_Learning_Applications_for_Computational_Fluid_Dynamics_Modeling_in_Chemical_Engineering/links/652d48e2b5c77c79f9bb7e34/Towards-Machine-Learning-Applications-for-Computational-Fluid-Dynamics-Modeling-in-Chemical-Engineering.pdf

[61] Current and emerging deep-learning methods for the simulation of fluid dynamics https://spiral.imperial.ac.uk/bitstream/10044/1/106541/2/rspa.2023.0058.pdf

[62] Physics-Aware Convolutional Neural Networks for Computational Fluid Dynamics https://kups.ub.uni-koeln.de/70706/1/Dissertation_Viktor_Grimm.pdf

[63] Machine Learning in Aerodynamic Shape Optimization https://arxiv.org/pdf/2202.07141

[64] An artificial neural network-based optimization of reverse electrodialysis power generating cells using CFD and genetic algorithm https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/er.8379

[65] Efficient Aerodynamic Shape Optimization with Deep-Learning-Based Geometric Filtering https://www.researchgate.net/profile/Jichao-Li/publication/342620657_Efficient_Aerodynamic_Shape_Optimization_with_Deep-Learning-Based_Geometric_Filtering/links/5efd3c28299bf18816fa3f4e/Efficient-Aerodynamic-Shape-Optimization-with-Deep-Learning-Based-Geometric-Filtering.pdf

[66] Effect of inter turbine spacing in omnidirectional wind for Savonius cluster: a computational fluid dynamics and artificial neural network approach Open Access https://academic.oup.com/ce/article/9/3/94/7945834

[67] Deep convolutional neural network for shape optimization using level-set approach https://arxiv.org/pdf/2201.06210

[68] Vaneless Diffuser Modeling for Real Gas Supercritical Carbon Dioxide Flows: Need for a Data-Driven Approach https://asmedigitalcollection.asme.org/gasturbinespower/article-abstract/147/4/041027/1206888/Vaneless-Diffuser-Modeling-for-Real-Gas

[69] CFD-Powered Ship Trim Optimization: Integrating ANN for User-Friendly Software Tool Development https://www.semanticscholar.org/paper/CFD-Powered-Ship-Trim-Optimization:-Integrating-ANN-Vasilev-Kalajd%C5%BEi%C4%87/07820943f027548dd16dc358e792be9eecb1803c

[70] SURFNet: Super-resolution of Turbulent Flows with Transfer Learning using Small Datasets https://arxiv.org/pdf/2108.07667

[71] Two-dimensional temperature field prediction of rotary kiln based on graph neural networks https://pubs.aip.org/aip/pof/article/37/2/027145/3335741/Two-dimensional-temperature-field-prediction-of?searchresult=1

[72] Performance investigation on blade arc angle and blade shape factor of a Savonius hydrokinetic turbine using artificial neural network https://www.tandfonline.com/doi/ref/10.1080/15567036.2023.2226096

[73] Towards fast and reliable estimations of 3D pressure, velocity and wall shear stress in aortic blood flow: CFD-based machine learning approach https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/245860595/1-s2.0-S0010482525004883-mainext.pdf

[74] DrivAerNet++: A Large-Scale Multimodal Car Dataset with Computational Fluid Dynamics Simulations and Deep Learning Benchmarks https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/013cf29a9e68e4411d0593040a8a1eb3-Paper-Datasets_and_Benchmarks_Track.pdf

[75] Mesh Neural Networks for SE(3)-Equivariant Hemodynamics Estimation on the Artery Wall https://arxiv.org/pdf/2212.05023

[76] Factorized Implicit Global Convolution for Automotive Computational Fluid Dynamics Prediction https://arxiv.org/pdf/2502.04317

[77] Machine learning in cardiovascular flows modeling: Predicting arterial blood pressure from non-invasive 4D flow MRI data using physics-informed neural networks https://arxiv.org/pdf/1905.04817

[78] CarBench: A Comprehensive Benchmark for Neural Surrogates on High-Fidelity 3D Car Aerodynamics https://arxiv.org/pdf/2512.07847

[79] Interplay between Artificial Intelligence and Biomechanics Modeling in the Cardiovascular Disease Prediction https://pdfs.semanticscholar.org/c9b5/1f6f100994a58b27ed219913959b1dd5700f.pdf

[80] DrivAerStar: An Industrial-Grade CFD Dataset for Vehicle Aerodynamic Optimization https://arxiv.org/pdf/2510.16857

[81] Investigation on aortic hemodynamics based on physics-informed neural network https://www.researchgate.net/publication/370562769_Investigation_on_aortic_hemodynamics_based_on_physics-informed_neural_network/fulltext/645642f14af788735261142d/Investigation-on-aortic-hemodynamics-based-on-physics-informed-neural-network.pdf

[82] NeuralCFD: Deep Learning on High-Fidelity Automotive Aerodynamics Simulations https://arxiv.org/pdf/2502.09692

[83] Fast prediction of blood flow in stenosed arteries using machine learning and immersed boundary-lattice Boltzmann method https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphys.2022.953702/pdf

[84] 3D Flow Field Estimation around a Vehicle Using Convolutional Neural Networks https://www.bmva-archive.org.uk/bmvc/2021/assets/papers/0936.pdf

[85] Learning hemodynamic scalar fields on coronary artery meshes: A benchmark of geometric deep learning models https://arxiv.org/pdf/2501.09046

[86] TripOptimizer: Generative 3D Shape Optimization and Drag Prediction using Triplane VAE Networks https://arxiv.org/pdf/2509.12224

[87] Deep Learning for Computational Hemodynamics: A Brief Review of Recent Advances https://pdfs.semanticscholar.org/3183/78fb5d8c401abdbaa966a6737ac5a8277111.pdf

[88] Machine Learning for Road Vehicle Aerodynamics https://assets.amazon.science/3c/46/c3a162bb417690968ef7a12e1859/machine-learning-for-road-vehicle-aerodynamics.pdf

[89] DRIVAERML: HIGH-FIDELITY COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS DATASET FOR ROAD-CAR EXTERNAL AERODYNAMICS https://openreview.net/pdf?id=EyTzNHoEyK

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文章改编转载自微信公众号：OpenFOAM

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/ygtxYylb7V9oTcmARBwFFg?scene=1

最近有点痴迷于人工智能技术在仿真方面的应用了，但是LLM大语音模型来做仿真目前还是不现实，直接模拟估计还是要DNN这类深度神经网络来做，为此我也整理了相关的方法和应用场景，分享出来给大家一起交流学习。

PS：最近在利用dify搭建OpenFOAM专用智能体，问题还是比较多，感觉想把OpenFOAM的内容变成知识库，很具有挑战性和技巧性，欢迎有兴趣的找我一起交流。

  1. 引言

1.1 研究背景与意义

计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）作为现代工程设计和科学研究的核心工具，在航空航天、能源动力、汽车工程、生物医学等领域发挥着不可替代的作用。然而，传统 CFD 方法面临着计算成本高昂、求解时间长、内存需求大等根本性挑战，特别是在处理复杂几何形状、高雷诺数湍流以及多物理场耦合问题时，这些限制尤为突出(1)。

近年来，深度学习技术的快速发展为 CFD 领域带来了革命性的机遇。深度神经网络（Deep Neural Networks, DNN）凭借其强大的非线性映射能力、高效的并行计算特性以及自动特征提取功能，在 CFD 仿真加速、湍流建模、设计优化等方面展现出巨大潜力(5)。特别是 2020 年以来，随着 Transformer 架构的广泛应用和物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）的兴起，DNN 与 CFD 的融合呈现出前所未有的发展态势(22)。

1.2 研究目标与范围

本综述全面梳理了近5年深度神经网络在 CFD 计算中的最新应用进展，系统分析不同类型 DNN 架构（CNN、RNN、Transformer 等）与 CFD 计算过程的各种耦合方式，深入探讨其在航空航天、能源、汽车、生物医学等关键领域的应用现状与技术挑战。通过对最新研究成果的综合分析，本综述期望为相关领域的研究人员和工程师提供系统性的技术参考，推动 DNN-CFD 融合技术的进一步发展。

1.3 文章结构

本综述共分为六个主要部分。第二部分系统介绍了深度神经网络的基本架构类型及其在 CFD 中的应用原理；第三部分详细分析了 DNN 与 CFD 的耦合策略；第四部分按应用领域分类讨论了具体应用案例；第五部分总结了当前技术发展趋势与面临的挑战；第六部分对未来发展方向进行了展望。

  2. 深度神经网络架构在 CFD 中的应用

2.1 卷积神经网络（CNN）

2.1.1 CNN 基本原理与特性

卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNN）通过卷积层、池化层和全连接层的组合，能够自动提取数据中的空间特征，特别适合处理具有网格结构的 CFD 数据(1)。在 CFD 应用中，CNN 的核心优势在于其局部连接和权值共享特性，这使得网络能够以较低的计算复杂度捕获流体流动的局部空间结构。

CNN 在 CFD 中的应用主要基于编码器 - 解码器架构。编码器由多个卷积层和池化层组成，负责将输入的几何场或流场数据降维到低维潜在空间；解码器则通过反卷积层或插值层将潜在特征恢复为完整的流场信息。U-Net 作为一种特殊的 CNN 架构，通过跳跃连接将编码器的特征图与解码器对应层的特征图进行拼接，显著提升了流场重建的精度，已成为稳态流场预测的主流架构。

2.1.2 CNN 在 CFD 中的具体应用

CNN 在 CFD 中的应用涵盖了从稳态流场预测到湍流建模的多个方面。在稳态流动近似方面，Guo 等人提出了基于 CNN 的通用灵活近似模型，能够实时预测二维或三维域中的非均匀稳态层流，相比 GPU 加速的 CFD 求解器实现了两个数量级的加速，相比 CPU 求解器实现了四个数量级的加速(1)。

在湍流建模领域，CNN 展现出强大的学习能力。Zhao 等人开发了基于 CNN 的湍流建模框架，通过学习高保真数据集的雷诺应力模式和空间相关性，能够准确预测城市风场中的湍流特性(11)。该框架在复杂几何形状的区域表现良好，特别是在训练数据集覆盖的流动特性区域，能够提供连续平滑的速度场分布。

在实际工程应用中，CNN 已成功应用于多个领域。在航空航天领域，CNN 被用于高维气动数据建模，通过自由变形方法对机翼进行参数化，定义了 109 个包含飞行状态和气动形状变量的模型输入，能够快速预测复杂几何形状的气动特性。在汽车工程中，CNN 被用于三维流场估计，通过风格提取器获得车辆形状的深层特征，并应用自适应实例归一化改善估计性能，在尾流区域和车辆表面附近区域的流场估计方面表现优异(84)。

2.2 循环神经网络（RNN）及其变体

2.2.1 RNN 与 LSTM 基本原理

循环神经网络（Recurrent Neural Networks, RNN）及其变体长短期记忆网络（Long Short-Term Memory, LSTM）特别适合处理具有时间序列特征的 CFD 问题，如非稳态流动模拟和湍流演化预测(19)。LSTM 通过门控机制有效解决了传统 RNN 的梯度消失问题，能够学习流体流动的长期时间依赖性。

在 CFD 应用中，LSTM 主要用于建模流体系统的动力学行为。通过将高保真 CFD 模型在选定时间层的解作为训练数据，LSTM 网络能够构建表示降阶流体动力学系统的超曲面集合(21)。这种方法的优势在于能够捕捉流体流动的复杂时空动态，同时保持计算效率。

2.2.2 LSTM 在 CFD 中的典型应用

LSTM 在 CFD 中的应用主要集中在非线性气动弹性力建模、湍流建模和晶体生长预测等方面。在桥梁工程中，An 等人提出了基于 LSTM 网络的降阶模型，用于模拟具有各种前缘形状的桥梁断面的非线性气动弹性力。该模型以桥梁断面运动、前缘角度和风速为输入，输出非线性气动弹性力，在高保真 CFD 数据集上训练后表现出良好的预测精度(19)。

在湍流建模方面，Pasinato 研究了使用 LSTM 预测 RANS（雷诺平均 Navier-Stokes）模拟中的湍流特性。该研究构成了评估 LSTM 神经网络替代 RANS 湍流模型可行性研究的第二阶段，通过 LSTM 模型预测剪切雷诺应力并在 RANS 模拟中传播，获得湍流流动的平均流场(27)。

在材料科学领域，Deng 等人将 RNN 与 CFD 结合，用于预测垂直梯度凝固（VGF）法生长磷化铟单晶过程中的温度和晶体生长高度。通过比较 LSTM 模型和门控循环单元（GRU）的预测效果，发现 GRU 在预测精度和计算时间方面表现更优。

2.3 Transformer 架构

2.3.1 Transformer 基本原理与优势

Transformer 架构基于自注意力机制，能够直接建模序列中任意两个位置之间的依赖关系，无需通过递归或卷积来逐步传递信息(22)。在 CFD 应用中，Transformer 的核心优势在于其全局感知能力，能够捕捉流体流动中的长程空间相关性，这对于理解和预测复杂的湍流结构具有重要意义。

在降阶建模框架中，研究人员使用卷积自编码器作为降维机制，然后训练 Transformer 模型学习编码状态空间中的系统动力学。该模型即使在湍流数据集上也表现出竞争性的结果(22)。与传统的降阶模型相比，基于 Transformer 的方法能够动态检测空间相关性和模式，并根据检测到的模式计算下一状态，实现了动态或即时降阶建模。

2.3.2 Transformer 在 CFD 中的应用进展

Transformer 在 CFD 中的应用正在快速发展，涵盖了从基础研究到工业应用的多个层面。在流体动力学建模方面，Universal Physics Transformers (UPTs) 提供了一种高效统一的学习范式，能够处理各种时空问题，无需基于网格或粒子的潜在结构，在基于网格的流体仿真和稳态雷诺平均 Navier-Stokes 仿真中展现出多样化的适用性和有效性(23)。

在湍流建模领域，Yang 等人提出了改进的隐式因子化 Transformer（IFactFormer-m）模型，通过将原始的链式因子化注意力替换为并行因子化注意力，成功实现了湍流通道流的长期预测。与原始 IFactFormer、傅里叶神经算子（FNO）和隐式傅里叶神经算子（IFNO）相比，IFactFormer-m 在短期预测中减少了误差，并实现了各种统计特性和流动结构的稳定准确长期预测(26)。

在实际应用中，Transformer 已被用于构建 PDE 基础模型。BCAT（Block Causal Transformer）使用块因果 Transformer 架构对二维流体动力学问题的解进行自回归预测，利用先前帧作为上下文先验，更有效地捕获非线性时空动力学和物理现象中固有的空间依赖性(31)。

2.4 其他新兴 DNN 架构

2.4.1 图神经网络（GNN）

图神经网络（Graph Neural Networks, GNN）特别适合处理非结构化网格的 CFD 数据，能够直接在任意拓扑结构的网格上进行计算(35)。与传统基于像素的 CNN 不同，图卷积可以直接应用于贴体三角形网格，便于与 CFD 求解器耦合。

在 CFD 应用中，GNN 展现出独特的优势。Belbute-Peres 等人开发了结合可微分 PDE 求解器和图神经网络的混合架构，将传统图卷积网络与嵌入在网络内部的可微分流体动力学模拟器相结合。该方法在更粗糙分辨率表示上运行实际 CFD 模拟器，既保持了对新情况的良好泛化能力，又从神经网络 CFD 预测的大幅加速中受益(35)。

在流场补全方面，He 等人提出了流场补全网络（FCN），基于图卷积注意力网络从不完整数据推断流体动力学特性。FCN 由多个图卷积层和空间注意力层组成，能够处理结构化和非结构化数据，在圆柱绕流的 CFD 数据评估中表现出色，预测的力系数与 CFD 直接计算结果吻合良好(45)。

2.4.2 U-Net 及其变体

U-Net 作为一种全卷积编码器 - 解码器网络，通过跳跃连接实现编码器和解码器层之间的信息传递，特别适合 CFD 中的流场重建任务(36)。在 CFD 应用中，U-Net 的成功主要归因于其能够提取不同尺度的流动特征，并将编码器识别的判别特征与解码器共享以进行场合成，这与流体动力学的多尺度特性高度契合。

在大规模地质系统的流体流动预测中，研究人员提出了结合残差 U-Net 和自回归策略的深度神经网络模型。该模型将前一时间步的输出作为当前时间步的输入，通过丰富的跳跃连接促进信息传播，以较少的参数实现了更好的预测性能(36)。

在三维地下流动数据同化中，研究人员开发了三维递归残差 U-Net（递归 R-U-Net），由 3D 卷积和递归（convLSTM）神经网络组成，专门用于捕获与动态地下流动系统相关的时空信息(37)。该模型在处理复杂地质模型的动态状态和井响应预测方面表现出色。

  3. DNN 与 CFD 的耦合策略

3.1 替代模型（Surrogate Model）策略

3.1.1 基于物理约束的神经网络

基于物理约束的神经网络通过将控制方程和边界条件直接嵌入到损失函数中，使网络预测满足物理定律，从而减少对大量训练数据的依赖(47)。这种方法的核心思想是通过最小化控制偏微分方程的残差来调整深度学习模型，为给定的流体动力学问题提供解析且可微分的解决方案(5)。

在具体实现中，研究人员提出了使用基于 U-Net 架构的卷积神经网络来高效表示和重建输入输出场。通过将 Navier-Stokes 方程和边界条件引入损失函数，物理驱动的 CNN 被设计为直接预测相应的稳态流场。该方法在圆柱绕流等典型算例中实现了一阶精度，能够学习不同的流动状态并正确预测附着的 "双涡" 结构(47)。

物理信息神经网络（PINN）是该领域的重要进展。在主动脉血流建模中，研究人员基于 PINN 提出了新的压力估计方法，使用无量纲 Navier-Stokes 方程和连续性方程作为 PINN 的损失函数来计算速度和相对压力场。后处理过程根据相对压力、弹性模量和血管壁位移之间的线性关系拟合主动脉的绝对压力，在感兴趣的主动脉区域，最大和平均绝对压力的相对误差均小于 3%(81)。

3.1.2 降阶模型与 DNN 结合

降阶模型（Reduced Order Model, ROM）与深度神经网络的结合为 CFD 仿真提供了高效的替代方案。传统的 POD（本征正交分解）方法虽然有效，但在处理空间域中移动的模式（如行波）时存在局限性。相比之下，基于 Transformer 的方法能够动态检测空间相关性和模式，并根据检测到的模式即时计算下一状态。

在具体应用中，研究人员提出了结合主成分分析（PCA）和双向长短期记忆网络（Bi-LSTM）的 PBLSTM ROM 方法，用于捕获流化床的复杂时空动力学。该方法通过结合 PCA 和 Bi-LSTM 网络，有效提取了动态演化信息而无需控制方程的先验知识，实现了非稳态流场的降阶建模。与传统 CFD 仿真相比，PBLSTM ROM 将仿真速度提高了五个数量级。

在复杂几何形状的处理方面，因子化隐式全局卷积（FIGConv）架构提供了新的解决方案。该架构通过因子化隐式网格近似高分辨率域，通过 2D 重参数化实现高效全局卷积，并采用 U 型架构进行有效信息收集和集成，成功解决了任意输入输出几何形状的大型 3D 网格 CFD 问题。在 DrivAerNet 数据集上，该模型实现了 0.95 的 R² 值用于阻力预测，相比之前的最先进方法在相对均方误差上提高了 40%，在绝对均方误差上提高了 70%(7)。

3.2 误差修正策略

3.2.1 残差网络与多尺度修正

残差网络通过引入跳跃连接，使网络能够学习残差映射而非直接学习完整的输入输出关系，这在 CFD 误差修正中具有重要应用价值(36)。在大规模地质系统的流体流动预测中，研究人员提出了结合残差 U-Net 和自回归策略的深度神经网络模型。该模型通过丰富的跳跃连接促进信息传播，以较少的参数实现了更好的预测性能，能够准确预测非均质二维二元模型中溶质运移的迁移过程(36)。

在 CFD 求解器加速方面，研究人员提出了多种误差修正方法。CFDNet 框架通过在迭代求解器的基础上引入 CNN 预测，实现了显著的加速效果。该框架首先让数值求解器执行迭代步骤直到残差降至预定阈值以下，然后使用 CNN 评估最后一次迭代的输出以获得近似解，并将其作为第二次运行数值求解器的初始猜测。当 CFDNet 针对椭圆圆柱绕流仿真进行训练时，在 NACA 翼型绕流推理中实现了 2 到 3 倍的总加速，同时仍满足所需的收敛要求(4)。

在粗网格 CFD 仿真增强方面，研究人员提出了基于深度神经网络架构的机器学习技术，用于修正高雷诺数湍流流动粗网格仿真引起的数值误差，同时恢复高分辨率场的估计。该方法是一种混合 ML-PDE 求解器，能够在较低分辨率下求解系统 PDE 的同时获得有意义的高分辨率解轨迹，在二维湍流 Rayleigh-Bénard 对流问题上证明了该策略的概念可行性(48)。

3.2.2 梯度增强与自适应学习

梯度增强技术通过集成多个弱学习器来构建强预测模型，在 CFD 应用中展现出良好的性能。在燃烧模拟领域，研究人员开发了基于深度学习的氢气湍流燃烧仿真框架 CFDNN，该框架基于优化的深度卷积神经网络，灵感来自 U-Net 架构和 Inception 模块。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，不仅能够准确预测训练集范围内的流场和燃烧场，还显示出对训练集外预测的外推能力，相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

自适应学习策略在 CFD-DNN 耦合中也发挥重要作用。在非平衡反应流仿真中，研究人员提出了自适应物理信息神经算子，通过分层自适应深度学习策略结合降维和神经算子，学习化学动力学的多尺度粗粒化控制方程的解。该代理模型的架构被构建为树状结构，叶节点代表独立的神经算子块，其中物理以多个软约束和硬约束的形式嵌入。分层属性具有两个优势：允许通过从最慢时间尺度开始的迁移学习简化训练阶段；通过基于气体的局部非平衡程度将代理评估限制在必要的叶节点来加速预测步骤。

3.3 湍流建模中的 DNN 应用

3.3.1 DNS/LES 与机器学习结合

直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）与机器学习的结合为湍流建模提供了新的解决方案。在 LES 应用中，研究人员提出了深度学习 PDE 增强方法（DPM），该框架利用已知物理减少机器学习在科学应用中的过拟合。表达物理的偏微分方程通过神经网络增强，该网络使用可用数据学习相应未知或未表示物理的描述。在降阶各向同性湍流的高保真直接数值模拟提供的训练数据上，该方法学习过滤 Navier-Stokes 方程的亚网格尺度闭合，在样本外比较中显示出优于广泛使用的模型的性能(52)。

在湍流建模的发展历程中，实验和直接仿真的湍流数据传统上用于校准基于雷诺平均 Navier-Stokes（RANS）方程的简单工程模型。近年来，随着大型多样化数据集的可用性，研究人员开始探索系统地用数据告知湍流模型的方法，目标是量化和减少模型不确定性。通过利用湍流建模和物理约束的基础知识，数据驱动方法能够产生有用的预测模型(55)。

3.3.2 壁面建模与亚格子尺度建模

壁面建模是湍流模拟中的关键挑战之一，深度学习在这一领域展现出巨大潜力。在城市风场仿真中，研究人员开发了基于卷积神经网络的湍流建模框架，用于建模城市风场中的湍流。CNN 模型通过学习高保真数据集的雷诺应力模式和空间相关性进行训练，然后集成到 CFD 求解器中生成准确连续的流场。该框架在简化基准配置上初步证明了泛化能力，然后应用于城市风环境的案例研究，能够准确预测孤立建筑物周围的速度场(11)。

在亚格子尺度建模方面，研究人员提出了用于湍流通道流快速预测的隐式因子化 Transformer 方法。改进的 IFactFormer-m 模型通过将原始链式因子化注意力替换为并行因子化注意力，成功实现了湍流通道流的长期预测。与其他神经算子和传统大涡模拟方法（包括动态 Smagorinsky 模型（DSM）和壁面自适应局部涡粘性（WALE）模型）相比，IFactFormer-m 在短期内减少了预测误差，并实现了各种统计特性和流动结构的稳定准确长期预测，包括能谱、平均流向速度、脉动速度的均方根值、雷诺剪切应力和瞬时速度的空间结构(26)。

在 RANS 湍流建模中，研究人员结合数据同化和机器学习来修正 RANS Spalart-Allmaras 湍流模型。最终的神经网络贡献是 Boussinesq 修正，而不是湍流涡粘性调整。在不同雷诺数和几何形状的周期性山丘流动中选择了案例来展示机器学习增强湍流模型的潜在收益。

3.4 其他耦合策略

3.4.1 多物理场耦合中的 DNN 应用

多物理场耦合问题涉及流体力学与传热、化学反应、电磁学等多种物理过程的相互作用，深度神经网络在这一领域展现出独特的优势。在氢能湍流燃烧仿真中，研究人员开发了基于深度学习的框架，设计了受 U-Net 架构和 Inception 模块启发的优化深度卷积神经网络 CFDNN。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，能够准确预测流场和燃烧场，在训练集范围内和外推预测中都表现出色，相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

在旋转窑温度场预测中，研究人员提出了基于图神经网络的 CLJPNet 模型，用于快速预测旋转窑的整体温度场。该模型使用 Cleary-Luby-Jones-Plassmann 粗化算法在多代数格中稀疏化图拓扑结构，在保持高精度的同时加速推理速度。实验结果表明，该模型在测试集上实现了 0.99 的决定系数（R²）、710.63 的均方误差、1.64 的平均绝对百分比误差和 0.02 的感兴趣区域平均相对误差，所有评估指标都优于其他模型，运行速度比 CFD 模型快 3 个数量级(71)。

3.4.2 实时仿真与在线优化

实时仿真和在线优化是 CFD-DNN 耦合的重要应用方向，特别是在需要快速决策的工程场景中。在桥梁工程中，研究人员提出了基于 LSTM 网络的降阶模型，用于模拟具有各种前缘形状的桥梁断面的非线性气动弹性力。该模型以桥梁断面运动、前缘角度和风速为输入，输出非线性气动弹性力，在高保真 CFD 数据集上训练后，能够快速预测相应的后颤振行为，为大跨度桥梁的设计提供了重要工具(19)。

在建筑能源仿真中，研究人员开发了结合神经网络和 Modelica 的耦合仿真框架，用于考虑非均匀室内环境的快速建筑能源仿真。作为 CFD 的替代，用于实现室内空气分布快速准确预测的神经网络与基于 Modelica 的能源仿真程序耦合。该框架在 24 小时物理过程的仿真中仅需 52 秒，相比 CFD 与 BES 的耦合仿真减少了约 94% 的计算时间。

在汽车设计优化中，研究人员提出了基于深度学习的几何过滤方法用于高效气动形状优化。该方法基于深度卷积生成对抗网络训练学习现有翼型的潜在特征，能够生成比其他采样方法更真实的样本翼型。此外，基于卷积神经网络开发了判别模型，能够快速检测翼型或机翼截面的几何异常而无需使用昂贵的 CFD 模型。与传统方法相比，该模型能够将优化效率提高一倍(65)。

  4. DNN-CFD 在各领域的应用

4.1 航空航天领域

4.1.1 气动设计优化

在航空航天领域，深度神经网络在气动设计优化中发挥着越来越重要的作用。传统的气动形状优化（Aerodynamic Shape Optimization, ASO）需要大量的 CFD 仿真，计算成本高昂。机器学习技术的引入为这一问题提供了革命性的解决方案(63)。

在具体应用中，研究人员提出了基于深度神经网络的高维气动数据建模方法。该方法以类似 Sanger 航天飞机运载机翼的高超音速机翼为测试案例，通过自由变形方法对机翼进行参数化，定义了 109 个包含飞行状态和气动形状变量的模型输入。使用拉丁超立方采样方法生成的 7000 多个采样点通过雷诺平均 Navier-Stokes 流动求解器进行 CFD 仿真评估，建立了气动数据库。训练好的 CNN 模型考虑了飞行状态和形状变量，应用于气动形状优化以展示其在多个飞行状态下实现快速优化的能力。

在气动系数预测方面，研究人员开发了基于深度残差神经网络的方法，用于预测由于烧蚀引起形状变化的三维锥体的气动系数变化。该方法使用深度残差神经网络和 K 折交叉验证，训练模型学习形状变换与相应气动系数变化之间的潜在关系。基于训练过程构建的多个（K）模型被组合以有效减少预测方差，集成模型在各种气动系数上显示出改进的预测性能。

4.1.2 流动控制与多物理场耦合

在流动控制领域，深度学习技术为复杂流动现象的理解和控制提供了新的工具。在不可压缩流体动力学学习方面，研究人员提出了一种新颖的物理约束训练方法，该方法能够泛化到新的流体域，无需流体仿真数据，并允许卷积神经网络在单次前向传播中将流体状态从时间点 t 映射到 t+dt 的后续状态。训练后的框架产生的模型能够进行快速流体仿真，并能处理包括马格努斯效应和卡门涡街在内的各种流体现象，在 100×100 网格上以超过 300 次迭代 / 秒的速度运行(9)。

在多物理场耦合方面，研究人员开发了结合可微分 PDE 求解器和图神经网络的混合架构，用于流体流动预测。该系统有两个主要组件：首先构建图卷积网络（GCN），直接在典型 CFD 仿真任务中使用的非均匀网格上操作；其次，将在更粗糙分辨率上运行的（可微分）CFD 求解器直接嵌入到 GCN 本身中。该方法在更粗糙分辨率表示上运行实际 CFD 仿真器，既保持了对新情况的良好泛化能力，又从神经网络 CFD 预测的大幅加速中受益，同时显著优于单独的粗糙 CFD 仿真(35)。

4.2 能源动力领域

4.2.1 燃烧模拟与优化

在能源动力领域，深度学习在燃烧模拟和优化中展现出巨大潜力。在氢气湍流燃烧仿真中，研究人员开发了基于深度学习的框架，设计了受 U-Net 架构和 Inception 模块启发的优化深度卷积神经网络 CFDNN。CFDNN 在具有不同入口速度的腔体氢气燃烧仿真结果上训练后，不仅能够准确预测训练集范围内的流场和燃烧场，还显示出对训练集外预测的外推能力。CFDNN 求解器的结果在预测空间分布和时间动力学方面与传统 CFD 结果显示出优异的一致性，同时相比传统 CFD 求解器实现了两个数量级的加速(12)。

在旋转窑温度场预测中，研究人员提出了基于图神经网络的 CLJPNet 模型，用于快速预测旋转窑的整体温度场。该模型使用 Cleary-Luby-Jones-Plassmann 粗化算法在多代数格中稀疏化图拓扑结构，在保持高精度的同时加速推理速度。实验结果表明，该模型在测试集上实现了 0.99 的决定系数（R²）、710.63 的均方误差、1.64 的平均绝对百分比误差和 0.02 的感兴趣区域平均相对误差，所有评估指标都优于其他模型，运行速度比 CFD 模型快 3 个数量级(71)。

4.2.2 换热器与涡轮机械设计

在换热器设计优化中，研究人员结合机器学习和 CFD 仿真进行了生物质流化床气化建模。该耦合模型基于机器学习和计算流体动力学，旨在提高复杂热化学反应过程的预测精度和计算效率。通过基于实验数据和高保真仿真结果构建高质量数据集，训练用于描述反应动力学特性的代理模型，并将其嵌入到 CFD 框架中以实现反应速率和组成演化的实时更新(34)。

在涡轮机械设计方面，研究人员开发了基于雷诺平均 Navier-Stokes 仿真和深度学习的同轴喷射器代理建模方法。该方法以单同轴喷射器的实验测试案例作为参考点，通过改变九个参数（几何和操作条件）生成实验设计。进行雷诺平均 Navier-Stokes 仿真以生成数据集，数据用于训练不同保真度的代理模型，从低维输出（0D 和 1D）到 2D 温度场。对于低维输出，结果表明深度神经网络优于其他标准机器学习工具，即径向基函数和克里金法。对于高维输出，发现具有基于梯度的损失函数的卷积神经网络能够有效捕获大而平滑的温度变化以及火焰前沿的薄而尖锐的温度梯度。

在超临界 CO2 流动建模中，研究人员提出了基于人工神经网络的无叶扩压器建模方法。现有的使用入口雷诺数单独表征 VLD 表面摩擦系数的经验关系与 CFD 数据相比显示出较差的相关性（R² = 0.26），显然需要数据驱动的方法来建模 sCO2 VLD 真实气体流动以获得准确结果。使用拉丁超立方采样数据，证明了基于人工神经网络（ANN）模型的有效性，开发的双隐藏层 ANN 能够准确预测 sCO2 真实气体流动的表面摩擦系数（R² = 0.87）(68)。

4.3 汽车工程领域

4.3.1 空气动力学优化

在汽车工程领域，深度学习在空气动力学优化中发挥着越来越重要的作用。DrivAerNet++ 作为最大最全面的汽车空气动力学多模态数据集，包含 8000 个用高保真 CFD 仿真建模的多样化汽车设计。该数据集支持广泛的机器学习应用，包括数据驱动的设计优化、生成建模、代理模型训练、CFD 仿真加速和几何分类。拥有超过 39TB 的公开工程数据，DrivAerNet++ 填补了可用资源的重大空白，提供高质量、多样化的数据以增强模型训练、促进泛化并加速汽车设计过程(74)。

在具体的技术实现中，研究人员提出了因子化隐式全局卷积（FIGConv）架构，用于汽车 CFD 预测。该架构通过因子化隐式网格近似高分辨率域，通过 2D 重参数化实现高效全局卷积，并采用 U 型架构进行有效信息收集和集成。在 DrivAerNet 数据集上，该模型实现了 0.95 的 R² 值用于阻力预测，相比之前的最先进方法在相对均方误差上提高了 40%，在绝对均方误差上提高了 70%(76)。

在流场估计方面，研究人员提出了使用 3D 卷积神经网络的快速估计模型。该方法采用风格提取器获得每个车辆形状的充分深度特征，并应用自适应实例归一化以改善估计性能。此外，提出的损失函数主要包括切片加权损失函数，用于训练估计模型。研究结果表明，该方法优于以前的研究，特别是在尾流区域和车辆表面附近区域的流场估计方面(84)。

4.3.2 发动机仿真与热管理

在发动机仿真方面，研究人员开发了结合机器学习和 CFD 的船舶配平优化方法。该研究提出了配平优化作为能效改进措施的综合方法，重点是减少一艘 RO-RO 汽车运输船的燃料消耗。利用 CFD 软件，该方法结合人工神经网络开发数学模型，用于估计关键参数，如制动功率、日燃油消耗（DFOC）和螺旋桨速度。复杂的 ANN 模型随后集成到用户友好的软件工具中用于实际工程应用。基于配平优化结果，最大 DFOC 在 7.5 米吃水时高达 10.5%，在更高吃水时高达 8%(69)。

在新能源汽车热管理中，研究人员开发了用于极端风速下太阳能电池板倾斜角度优化的机器学习和 CFD 结合方法。该方法将在湍流大气边界层风流中同时优化多个面板倾斜角度的任务建模为马尔可夫决策过程，并用单步深度强化学习算法解决。输入神经网络的数值奖励来自结合 Navier-Stokes 方程变分多尺度建模和各向异性边界层网格自适应的高保真数值仿真。该方法成功最小化了六块地面安装面板在 50 km/h 入射风速下的二维和三维布置上的气动力，同时比文献中考虑的基线保护实践好几十百分点。

4.4 生物医学工程领域

4.4.1 血流动力学模拟

在生物医学工程领域，深度学习在血流动力学模拟中展现出重要应用价值。在主动脉血流的快速可靠估计方面，研究人员开发了深度神经网络，用于快速全面估计主动脉血流的最显著特征，包括速度大小和方向、3D 压力和壁面剪切应力。从 40 个从 4D Flow MRI 获得的特定于受试者的主动脉几何形状开始，应用统计形状建模生成 1000 个合成主动脉几何形状。对这些几何形状进行完整的 CFD 仿真以获得真实值，然后使用 900 个随机选择的主动脉几何形状为每个特征流动特征训练深度神经网络。在剩余 100 个几何形状上的测试导致速度平均误差为 3.11%，压力平均误差为 4.48%。对于壁面剪切应力预测，应用了两种方法：直接从神经网络预测的速度导出；从单独的神经网络预测。两种方法都产生了相似的精度，与完整的 3D CFD 结果相比平均误差分别为 4.8% 和 4.7%(73)。

在动脉血压预测方面，研究人员提出了使用物理信息神经网络从非侵入性 4D 流 MRI 数据预测动脉血压的机器学习框架。该框架能够无缝合成非侵入性体内测量技术和源自第一物理原理的计算流动动力学模型。通过展示如何使用脉动流的一维模型来约束深度神经网络的输出，使其预测满足质量和动量守恒原理。在流动和壁面位移的噪声和分散临床数据上训练后，这些网络可以返回速度、压力和壁面位移脉搏波传播的物理一致预测，所有这些都无需使用传统仿真器(77)。

4.4.2 呼吸力学与药物输送

在血流预测方面，研究人员开发了使用机器学习和浸入边界格子玻尔兹曼方法的狭窄动脉血流快速预测混合框架。该集成框架结合了浸入边界方法处理复杂边界的优异能力、多松弛时间 LBM 对非稳态流动的高效建模以及深度神经网络在人工学习方面的高效率。具体而言，狭窄动脉由二维情况的通道或三维情况的管子建模，狭窄由五阶多项式近似。采用 IB-LBM 为 DNN 获得训练数据，DNN 被构建为生成用于快速流动预测的近似模型。在 DNN 中，输入是狭窄的特征参数和流体节点坐标，输出是每个节点的平均速度和压力。为了表征复杂狭窄，构建卷积神经网络以使用上述多项式生成的数据提取狭窄特性(83)。

在冠状动脉血流建模中，研究人员进行了几何深度学习模型在冠状动脉网格上学习血流动力学标量场的基准研究。该研究分为两个主要部分：首先使用 1500 个左冠状动脉合成分叉的数据集，每个模型被训练预测各种压力相关场，从中重建 vFFR 场；其次使用来自该团队先前研究的 427 个特定于患者的 CFD 仿真数据集。研究发现，当学习歧管上的压降时，大多数后端在合成数据集上取得了很好的性能。对于其他网络输出变量（如压力和 vFFR 场），基于 Transformer 的后端优于所有其他架构。当在特定于患者的数据上训练时，基于 Transformer 的架构是唯一在平均逐点误差和准确预测狭窄病变中的 vFFR 方面都取得强性能的架构(85)。

  5. 技术发展趋势与挑战

5.1 技术发展趋势

5.1.1 硬件加速与并行计算

随着 GPU、TPU 等专用硬件的快速发展，深度神经网络在 CFD 中的应用正朝着更高性能和更低延迟的方向发展。在流体动力学建模方面，研究人员开发了 Physics-Driven 的不可压缩 Navier-Stokes 方程学习方法，该方法允许卷积神经网络在单次前向传播中将流体状态从时间点 t 映射到 t+dt 的后续状态。训练后的模型能够进行快速流体仿真，并能处理包括马格努斯效应和卡门涡街在内的各种流体现象，在 100×100 网格上以超过 300 次迭代 / 秒的速度运行(9)。

在实际应用中，神经网络模型在预测新设计方面通常能够实现近实时（即少于 5 秒）的性能，在单个 GPU 上训练通常少于 1 小时。然而，仍然需要来自传统 CFD 方法的高质量训练数据和高保真 CFD 仿真来验证 ML 预测。因此，ML 方法应被视为增强传统 CFD 方法的工具，而不是替代它们(88)。

5.1.2 多模态融合与迁移学习

多模态融合技术通过结合不同类型的数据（如图像、点云、网格等）来提高模型性能，在 CFD 应用中展现出巨大潜力。DrivAerNet++ 数据集包含 8000 个多样化汽车设计的高保真 CFD 仿真，支持广泛的机器学习应用，包括数据驱动的设计优化、生成建模、代理模型训练、CFD 仿真加速和几何分类。该数据集包含详细的 3D 网格、参数化模型、气动系数和广泛的流动和表面场数据，以及用于汽车分类的分段部件和点云数据(74)。

迁移学习在 CFD-DNN 应用中也发挥着重要作用。在超分辨率任务的迁移学习方面，研究人员提出了两种方法：即一次性学习和增量学习。两种方法都只需要在一个高分辨率流场训练数据集上进行迁移学习，相比微小分辨率（64×256）的粗糙模型，在 256× 更大的输入分辨率上求解 Navier-Stokes 方程时，在四个测试几何形状和八个训练期间未见过的流动配置上，观察到比 OpenFOAM 物理求解器一致的 2-2.1 倍加速(70)。

5.2 面临的挑战

5.2.1 数据质量与泛化能力

高质量训练数据的获取是 CFD-DNN 应用面临的主要挑战之一。传统 CFD 仿真生成高保真训练数据成本昂贵，而数据的数量和质量直接影响模型的泛化能力。在汽车空气动力学领域，现有数据集存在根本性限制 —— 网格分辨率不足、缺少车辆组件以及验证误差超过 5%—— 阻碍了在工业工作流程中的部署。为此，研究人员开发了 DrivAerStar 数据集，包含使用 STAR-CCM+® 软件生成的 12000 个工业级汽车 CFD 仿真，通过严格的壁面 y + 控制的精细网格策略实现了低于 1.04% 的风洞验证精度，比现有数据集提高了五倍(80)。

泛化能力是另一个关键挑战。专门的数据驱动流动仿真器经常面临外推性能差、时间相关仿真中的误差累积以及训练湍流流动的困难。因此，大量努力正在投入到可能改善当前技术水平的方法中(5)。在湍流建模中，机器学习模型的准确性在应用于训练数据集之外的流动案例时经常降低。为了改善数据驱动模型对扩展案例集的预测准确性，研究人员提出了 CFD 驱动训练框架的扩展，包括三个关键步骤：首先选择候选流动相关参数列表以补充 Pope 的通用张量基假设；其次，建模额外的生产项可能在某些情况下有利于整体预测；最后，在模型训练迭代期间同时对几个不同的流动进行候选模型的雷诺平均 Navier-Stokes 评估(57)。

5.2.2 物理约束与可解释性

物理约束的有效集成是 CFD-DNN 应用中的重要挑战。虽然基于物理约束的方法能够减少对大量训练数据的依赖，但如何在神经网络架构中合理嵌入复杂的物理定律仍然需要深入研究。在基于物理的机器学习方法中，研究人员提出了将控制方程和边界条件直接引入损失函数的方法，通过最小化 Navier-Stokes 方程和边界条件的残差来调整深度学习模型。该方法在圆柱绕流等典型算例中实现了一阶精度，能够学习不同的流动状态并正确预测附着的 "双涡" 结构(47)。

可解释性是深度学习在 CFD 应用中面临的另一个重要挑战。深度神经网络通常被视为 "黑盒" 模型，难以解释其决策过程和物理意义。在湍流建模的挑战和前景中，研究人员指出，统计推断算法、机器学习和不确定性量化方法的并发增强，结合可用数据的增长，正在激发对湍流建模的新兴趣。然而，仍然需要在物理约束和机器学习能力之间找到平衡，以产生既准确又可解释的模型(55)。

  6. 结论与展望

6.1 主要研究成果总结

本综述系统梳理了 2020-2025 年间深度神经网络在 CFD 计算中的应用进展，主要研究成果包括：

在 DNN 架构应用方面，卷积神经网络（CNN）已成为稳态流场预测的主流方法，U-Net 架构通过跳跃连接显著提升了流场重建精度；循环神经网络（RNN）及其变体 LSTM 在处理时间序列特征的非稳态流动问题中展现优势；Transformer 架构凭借其全局感知能力，在捕捉流体流动长程相关性方面取得突破；图神经网络（GNN）为非结构化网格 CFD 数据处理提供了有效解决方案。

在耦合策略方面，基于物理约束的神经网络通过将控制方程嵌入损失函数，减少了对训练数据的依赖；降阶模型与 DNN 的结合实现了计算效率的大幅提升；误差修正策略通过残差网络和多尺度修正提高了预测精度；在湍流建模中，DNS/LES 与机器学习的结合为亚格子尺度建模提供了新途径。

在应用领域方面，航空航天领域在气动设计优化和流动控制方面取得重要进展；能源动力领域在燃烧模拟和热管理系统优化中展现出巨大潜力；汽车工程领域在空气动力学优化和新能源汽车热管理方面取得显著成果；生物医学工程领域在血流动力学模拟和医疗器械设计中发挥重要作用。

6.2 未来发展方向

基于当前研究现状和技术发展趋势，未来 DNN-CFD 融合技术的发展方向包括：

多物理场耦合深度学习：随着工业应用需求的不断提高，多物理场耦合问题将成为研究重点。未来需要开发能够同时处理流体力学、传热、化学反应、电磁学等多种物理过程的统一深度学习框架，实现真正的多物理场智能仿真。

自适应与在线学习：开发具有自适应能力的 DNN-CFD 系统，能够根据实时流场特征自动调整模型结构和参数。在线学习技术的引入将使系统能够不断从新的 CFD 仿真数据中学习，持续提升预测精度和泛化能力。

量子机器学习集成：随着量子计算技术的发展，量子机器学习在 CFD 中的应用前景广阔。量子神经网络可能在处理高维复杂流体问题时展现出超越经典算法的优势，特别是在大规模并行计算和复杂优化问题中。

边缘计算与实时仿真：将 DNN-CFD 技术部署到边缘设备，实现实时流体仿真和决策支持。这对于自动驾驶、无人机飞行控制、智能医疗设备等实时应用场景具有重要意义。

标准化与产业化：建立统一的 DNN-CFD 应用标准和评估体系，推动相关技术的产业化应用。需要加强学术界与工业界的合作，共同解决技术挑战，促进创新成果的转化应用。

深度神经网络与计算流体力学的融合正处于快速发展阶段，展现出巨大的应用潜力和广阔的发展前景。随着技术的不断进步和应用需求的持续增长，DNN-CFD 融合技术必将在更多领域发挥重要作用，推动相关产业的智能化升级和创新发展。

参考资料

[1] Convolutional Neural Networks for Steady Flow Approximation https://www.researchgate.net/profile/Xiaoxiao-Guo-7/publication/305997840_Convolutional_Neural_Networks_for_Steady_Flow_Approximation/links/5c1404b8a6fdcc494ff510a3/Convolutional-Neural-Networks-for-Steady-Flow-Approximation.pdf

[2] CFD simulation and measurement and control analysis of the ambient temperature field of agricultural greenhouses https://amns.sciendo.com/pdf/10.2478/amns-2025-0126

[3] Accelerating Eulerian Fluid Simulation With Convolutional Networks http://proceedings.mlr.press/v70/tompson17a/tompson17a.pdf

[4] CFDNet: A deep learning-based accelerator for fluid simulations https://arxiv.org/pdf/2005.04485

[5] Current and emerging deep-learning methods for the simulation of fluid dynamics https://spiral.imperial.ac.uk/bitstream/10044/1/106541/2/rspa.2023.0058.pdf

[6] Deep Fluids: A Generative Network for Parameterized Fluid Simulations https://arxiv.org/pdf/1806.02071

[7] Factorized Implicit Global Convolution for Automotive Computational Fluid Dynamics Prediction https://openreview.net/pdf?id=YNQF003Ad3

[8] SURROGATE CONVOLUTIONAL NEURAL NETWORK MODELS FOR STEADY COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS SIMULATIONS https://etna.math.kent.edu/vol.56.2022/pp235-255.dir/pp235-255.pdf

[9] LEARNING INCOMPRESSIBLE FLUID DYNAMICS FROM SCRATCH - TOWARDS FAST, DIFFERENTIABLE FLUID MODELS THAT GENERALIZE https://arxiv.org/pdf/2006.08762

[10] DeepCFD: Efficient Steady-State Laminar Flow Approximation with Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2004.08826

[11] Application of convolutional neural network for efficient turbulence modeling in urban wind field simulation https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/4Yqn2XR4/

[12] A Deep Learning Framework for Hydrogen-fueled Turbulent Combustion Simulation https://discovery.ucl.ac.uk/10106227/7/Luo%202020%20IJHE%20DL%20accepted.pdf

[13] Establishment and validation of a relationship model between nozzle experiments and CFD results based on convolutional neural network https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/4Mw8rnx9/

[14] Physics-Driven Learning of the Steady Navier-Stokes Equations using Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2106.09301

[15] Use of Convolutional Neural Network for multi-fidelity CFD problems https://webthesis.biblio.polito.it/secure/37497/1/tesi.pdf

[16] Bayesian Optimized Deep Ensemble for Uncertainty Quantification of Deep Neural Networks: a System Safety Case Study on Sodium Fast Reactor Thermal Stratification Modeling https://arxiv.org/pdf/2412.08776

[17] The Potential of Machine Learning to Enhance Computational Fluid Dynamics https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Vinuesa/publication/355092872_The_Potential_of_Machine_Learning_to_Enhance_Computational_Fluid_Dynamics/links/61712189750da711ac620c94/The-Potential-of-Machine-Learning-to-Enhance-Computational-Fluid-Dynamics.pdf

[18] A novel deep learning approach for flow field prediction around airfoils leveraging computational space representation https://ouci.dntb.gov.ua/en/works/7BYa55B9/

[19] Modeling Nonlinear Aeroelastic Forces for Bridge Decks with Various Leading Edges Using LSTM Networks https://www.mdpi.com/2076-3417/13/10/6005/pdf?version=1683970444

[20] UTransNet: An efficient hybrid architecture of convolutional neural networks and transformer for the approximation of non-uniform steady laminar flow https://www.semanticscholar.org/paper/UTransNet:-An-efficient-hybrid-architecture-of-and-Wang-Yin/a8228ced757c9515c659cad0fcbd0a5b43a0afe4

[21] Model identification of reduced order fluid dynamics systems using deep learning https://www.researchgate.net/profile/Dunhui-Xiao/publication/318430079_Model_identification_of_reduced_order_fluid_dynamics_systems_using_deep_learning/links/64815dc22cad460a1bfc5688/Model-identification-of-reduced-order-fluid-dynamics-systems-using-deep-learning.pdf

[22] Reduced-order modeling of fluid flows with transformers https://pubs.aip.org/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0151515/17720097/057126_1_5.0151515.pdf

[23] Universal Physics Transformers: A Framework For Efficiently Scaling Neural Operators https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/2cd36d327f33d47b372d4711edd08de0-Paper-Conference.pdf

[24] Machine learning the kinematics of spherical particles in fluid flows https://sandlab-mit-edu.ezproxy.canberra.edu.au/wp-content/uploads/18_JFM.pdf

[25] A new fluid flow approximation method using a vision transformer and a U-shaped convolutional neural network https://pubs.aip.org/aip/adv/article-pdf/doi/10.1063/5.0138515/16759425/025233_1_online.pdf

[26] Implicit factorized transformer approach to fast prediction of turbulent channel flows https://arxiv.org/pdf/2412.18840

[27] Using LSTM Predictions for RANS Simulations https://arxiv.org/pdf/2411.11723

[28] AMR-Transformer: Enabling Efficient Long-range Interaction for Complex Neural Fluid Simulation https://arxiv.org/pdf/2503.10257

[29] POSEIDON: Efficient Foundation Models for PDEs https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/84e1b1ec17bb11c57234e96433022a9a-Paper-Conference.pdf

[30] A REVIEW ON DEEP REINFORCEMENT LEARNING FOR FLUID MECHANICS A PREPRINT https://arxiv.org/pdf/1908.04127

[31] BCAT: A Block Causal Transformer for PDE Foundation Models for Fluid Dynamics https://arxiv.org/pdf/2501.18972

[32] FluidGPT-1: a proof-of-concept model for attention-based flow pattern generation in CFD https://www.aifluids.net/proceedings/S4P1.pdf

[33] Autoregressive transformers for data-driven spatiotemporal learning of turbulent flows https://pubs.aip.org/aip/aml/article-pdf/18198769/046101_1_5.0152212.pdf

[34] A novel biomass fluidized bed gasification model coupled with machine learning and CFD simulation https://arxiv.org/pdf/2509.06056

[35] Combining Differentiable PDE Solvers and Graph Neural Networks for Fluid Flow Prediction https://arxiv.org/pdf/2007.04439

[36] Deep residual U-net convolution neural networks with autoregressive strategy for fluid flow predictions in large-scale geosystems https://www.researchgate.net/profile/Zhihao-Jiang-3/publication/349435884_Deep_Residual_U-net_Convolution_Neural_Networks_with_Autoregressive_Strategy_for_Fluid_Flow_Predictions_in_Large-scale_Geosystems/links/603303114585158939bea333/Deep-Residual-U-net-Convolution-Neural-Networks-with-Autoregressive-Strategy-for-Fluid-Flow-Predictions-in-Large-scale-Geosystems.pdf

[37] Deep-learning-based surrogate flow modeling and geological parameterization for data assimilation in 3D subsurface flow https://arxiv.org/pdf/2007.13326

[38] A scalable convolutional neural network approach to fluid flow prediction in complex environments https://discovery.researcher.life/article/a-scalable-convolutional-neural-network-approach-to-fluid-flow-prediction-in-complex-environments/fcf9c34465e036b999a197eef9e38a21

[39] Deep Learning Methods for Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations of Airfoil Flows https://arxiv.org/pdf/1810.08217

[40] Fast Aquatic Swimmer Optimization with Differentiable Projective Dynamics and Neural Network Hydrodynamic Models https://arxiv.org/pdf/2204.12584

[41] Surrogate convolutional neural network models for steady computational fluid dynamics simulations https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/148435446/pp235_255.pdf

[42] A residual graph convolutional network for setting initial flow field in computational fluid dynamics simulations https://www.semanticscholar.org/paper/A-residual-graph-convolutional-network-for-setting-Zhang-Sun/c0af5e588289d8199afc78b5eed615001b0464c2

[43] Approaching Partial Differential Equations with Physics-Driven Deep Learning https://bonndoc.ulb.uni-bonn.de/xmlui/bitstream/handle/20.500.11811/11184/7353.pdf;jsessionid=5903BF0593B2F899B06E1D17541506B9?sequence=2

[44] DeepCFD: Efficient Steady-State Laminar Flow Approximation with Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2004.08826

[45] Flow completion network: Inferring the fluid dynamics from incomplete flow information using graph neural networks https://pubs.aip.org/aip/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0097688/16589543/087114_1_online.pdf

[46] Physics-constrained and flow-field-message-informed graph neural network for solving unsteady compressible flows https://pubs.aip.org/aip/pof/article-pdf/doi/10.1063/5.0200168/19904369/046123_1_5.0200168.pdf

[47] Physics-Driven Learning of the Steady Navier-Stokes Equations using Deep Convolutional Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2106.09301

[48] Using Machine Learning to Augment Coarse-Grid Computational Fluid Dynamics Simulations https://arxiv.org/pdf/2010.00072

[49] Machine learning based Reynolds averaged simulation of backward-facing step flows at different Reynolds numbers https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0217984921504303

[50] Quantifying model form uncertainty in Reynolds-averaged turbulence models with Bayesian deep neural networks https://arxiv.org/pdf/1807.02901

[51] Improving Pseudo-Time Stepping Convergence for CFD Simulations With Neural Networks https://arxiv.org/pdf/2310.06717

[52] DPM: A deep learning PDE augmentation method with application to large-eddy simulation https://arxiv.org/pdf/1911.09145

[53] Characterizing the acceleration time of laser-driven ion acceleration with data-informed neural networks https://www.semanticscholar.org/paper/Characterizing-the-acceleration-time-of-ion-with-Djordjevi%C4%87-Kemp/a626eaf8321dc541f878e6b5d2333c3cfd177c66

[54] The coupled deep neural networks for coupling of the Stokes and Darcy–Forchheimer problems https://www.semanticscholar.org/paper/The-coupled-deep-neural-networks-for-coupling-of-Yue-Li/0247b16120513db5c83ed5b952c228a2fe398207

[55] Turbulence Modeling in the Age of Data https://arxiv.org/pdf/1804.00183

[56] Fast and Accurate Prediction Method for Indoor Air Distribution Using Deep Learning https://www.semanticscholar.org/paper/Fast-and-Accurate-Prediction-Method-for-Indoor-Air-Ooka-Zhou/786c7325803268937ae1871e406411b29f38d9c6

[57] Toward More General Turbulence Models via Multicase Computational-Fluid-Dynamics-Driven Training https://www.semanticscholar.org/paper/Toward-More-General-Turbulence-Models-via-Multicase-Fang-Zhao/2fde8c28019fa09f2865f3b3013b6159f32969f6

[58] Learning to correct spectral methods for simulating turbulent flows https://arxiv.org/pdf/2207.00556

[59] Graph neural networks for laminar flow prediction around random 2D shapes https://arxiv.org/pdf/2107.11529

[60] Towards Machine Learning Applications for Computational Fluid Dynamics Modeling in Chemical Engineering https://www.researchgate.net/profile/Safae-Elmisaoui/publication/371488681_Towards_Machine_Learning_Applications_for_Computational_Fluid_Dynamics_Modeling_in_Chemical_Engineering/links/652d48e2b5c77c79f9bb7e34/Towards-Machine-Learning-Applications-for-Computational-Fluid-Dynamics-Modeling-in-Chemical-Engineering.pdf

[61] Current and emerging deep-learning methods for the simulation of fluid dynamics https://spiral.imperial.ac.uk/bitstream/10044/1/106541/2/rspa.2023.0058.pdf

[62] Physics-Aware Convolutional Neural Networks for Computational Fluid Dynamics https://kups.ub.uni-koeln.de/70706/1/Dissertation_Viktor_Grimm.pdf

[63] Machine Learning in Aerodynamic Shape Optimization https://arxiv.org/pdf/2202.07141

[64] An artificial neural network-based optimization of reverse electrodialysis power generating cells using CFD and genetic algorithm https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/er.8379

[65] Efficient Aerodynamic Shape Optimization with Deep-Learning-Based Geometric Filtering https://www.researchgate.net/profile/Jichao-Li/publication/342620657_Efficient_Aerodynamic_Shape_Optimization_with_Deep-Learning-Based_Geometric_Filtering/links/5efd3c28299bf18816fa3f4e/Efficient-Aerodynamic-Shape-Optimization-with-Deep-Learning-Based-Geometric-Filtering.pdf

[66] Effect of inter turbine spacing in omnidirectional wind for Savonius cluster: a computational fluid dynamics and artificial neural network approach Open Access https://academic.oup.com/ce/article/9/3/94/7945834

[67] Deep convolutional neural network for shape optimization using level-set approach https://arxiv.org/pdf/2201.06210

[68] Vaneless Diffuser Modeling for Real Gas Supercritical Carbon Dioxide Flows: Need for a Data-Driven Approach https://asmedigitalcollection.asme.org/gasturbinespower/article-abstract/147/4/041027/1206888/Vaneless-Diffuser-Modeling-for-Real-Gas

[69] CFD-Powered Ship Trim Optimization: Integrating ANN for User-Friendly Software Tool Development https://www.semanticscholar.org/paper/CFD-Powered-Ship-Trim-Optimization:-Integrating-ANN-Vasilev-Kalajd%C5%BEi%C4%87/07820943f027548dd16dc358e792be9eecb1803c

[70] SURFNet: Super-resolution of Turbulent Flows with Transfer Learning using Small Datasets https://arxiv.org/pdf/2108.07667

[71] Two-dimensional temperature field prediction of rotary kiln based on graph neural networks https://pubs.aip.org/aip/pof/article/37/2/027145/3335741/Two-dimensional-temperature-field-prediction-of?searchresult=1

[72] Performance investigation on blade arc angle and blade shape factor of a Savonius hydrokinetic turbine using artificial neural network https://www.tandfonline.com/doi/ref/10.1080/15567036.2023.2226096

[73] Towards fast and reliable estimations of 3D pressure, velocity and wall shear stress in aortic blood flow: CFD-based machine learning approach https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/245860595/1-s2.0-S0010482525004883-mainext.pdf

[74] DrivAerNet++: A Large-Scale Multimodal Car Dataset with Computational Fluid Dynamics Simulations and Deep Learning Benchmarks https://proceedings.neurips.cc/paper_files/paper/2024/file/013cf29a9e68e4411d0593040a8a1eb3-Paper-Datasets_and_Benchmarks_Track.pdf

[75] Mesh Neural Networks for SE(3)-Equivariant Hemodynamics Estimation on the Artery Wall https://arxiv.org/pdf/2212.05023

[76] Factorized Implicit Global Convolution for Automotive Computational Fluid Dynamics Prediction https://arxiv.org/pdf/2502.04317

[77] Machine learning in cardiovascular flows modeling: Predicting arterial blood pressure from non-invasive 4D flow MRI data using physics-informed neural networks https://arxiv.org/pdf/1905.04817

[78] CarBench: A Comprehensive Benchmark for Neural Surrogates on High-Fidelity 3D Car Aerodynamics https://arxiv.org/pdf/2512.07847

[79] Interplay between Artificial Intelligence and Biomechanics Modeling in the Cardiovascular Disease Prediction https://pdfs.semanticscholar.org/c9b5/1f6f100994a58b27ed219913959b1dd5700f.pdf

[80] DrivAerStar: An Industrial-Grade CFD Dataset for Vehicle Aerodynamic Optimization https://arxiv.org/pdf/2510.16857

[81] Investigation on aortic hemodynamics based on physics-informed neural network https://www.researchgate.net/publication/370562769_Investigation_on_aortic_hemodynamics_based_on_physics-informed_neural_network/fulltext/645642f14af788735261142d/Investigation-on-aortic-hemodynamics-based-on-physics-informed-neural-network.pdf

[82] NeuralCFD: Deep Learning on High-Fidelity Automotive Aerodynamics Simulations https://arxiv.org/pdf/2502.09692

[83] Fast prediction of blood flow in stenosed arteries using machine learning and immersed boundary-lattice Boltzmann method https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fphys.2022.953702/pdf

[84] 3D Flow Field Estimation around a Vehicle Using Convolutional Neural Networks https://www.bmva-archive.org.uk/bmvc/2021/assets/papers/0936.pdf

[85] Learning hemodynamic scalar fields on coronary artery meshes: A benchmark of geometric deep learning models https://arxiv.org/pdf/2501.09046

[86] TripOptimizer: Generative 3D Shape Optimization and Drag Prediction using Triplane VAE Networks https://arxiv.org/pdf/2509.12224

[87] Deep Learning for Computational Hemodynamics: A Brief Review of Recent Advances https://pdfs.semanticscholar.org/3183/78fb5d8c401abdbaa966a6737ac5a8277111.pdf

[88] Machine Learning for Road Vehicle Aerodynamics https://assets.amazon.science/3c/46/c3a162bb417690968ef7a12e1859/machine-learning-for-road-vehicle-aerodynamics.pdf

[89] DRIVAERML: HIGH-FIDELITY COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS DATASET FOR ROAD-CAR EXTERNAL AERODYNAMICS https://openreview.net/pdf?id=EyTzNHoEyK

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文章改编转载自微信公众号：OpenFOAM

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/ygtxYylb7V9oTcmARBwFFg?scene=1