参考文献：《A new tool for automated transformation of Quadratic Assignment Problem instances to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation models》

期刊：Expert Systems With Applications

作者：Umut Tosun

1. 引言

        二次分配问题（Quadratic Assignment Problem，简称QAP）是组合优化领域中最经典的难题之一，其定义是在一组设施和位置之间进行最优分配，使得设施之间的流量和位置之间的距离的加权总和最小化。这个问题在实际生活中的应用广泛，比如工厂布局设计、机场登机口分配、计算任务调度等。在工厂布局设计中，不同的机器需要合理摆放，以最小化它们之间的物流运输时间；在机场登机口分配中，需要减少乘客从航班到航班之间的步行距离；而在计算任务分配中，任务需要被分配到计算节点，以尽可能减少网络通信延迟。

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2. QAP的计算复杂性

        QAP的复杂性主要来源于其解空间的快速增长。对于一个规模为 nnn 的QAP，其可能的设施与位置的分配方式数量为 n!n!n!，即阶乘的增长速度。例如，当 n=10 时，可能的解空间大小为 10!，即3628800，而当 n=20 时，这一数字增长至 20!，超过2.43×10^18。这种指数增长的复杂性使得即使是中等规模的QAP也难以通过枚举法找到全局最优解。此外，QAP的目标函数通常包含多个约束，例如每个设施必须分配到一个位置、每个位置只能容纳一个设施等。传统的求解算法如分支定界法和动态规划在面对规模较小的问题时能够表现出色，但在规模较大的情况下，其计算资源需求和运行时间都会呈现爆炸式增长。因此，对于大规模的QAP问题，研究更高效的求解方法一直是优化领域的重要课题。

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3. QUBO模型的优势

        近年来，随着量子计算的兴起，QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimisation，二次无约束二进制优化）模型逐渐成为解决复杂优化问题的重要工具。QUBO模型的核心思想是将优化问题转化为无约束的二次形式，从而可以利用量子计算设备，如量子退火器，进行高效求解。QUBO模型在数学形式上具有很高的通用性，它可以通过引入惩罚函数将带约束的优化问题转化为等价的无约束问题。这种特性使其能够被广泛应用于多种组合优化问题中，包括最大割问题、旅行商问题以及本文研究的二次分配问题。然而，QAP到QUBO的转化并非直接而简单的过程，尤其是需要考虑如何在转化过程中保留问题的结构特性，同时最小化计算资源的开销。

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4. QAP到QUBO自动化工具

        为了应对上述挑战，本文提出了一种自动化工具，用于将QAP问题实例高效地映射为QUBO模型。该工具的开发基于以下核心思路：首先，通过构建流量矩阵和距离矩阵的克罗内克积，生成一个对称的权重矩阵 QQQ，这是QUBO模型的核心表示；其次，使用惩罚函数来表示QAP的约束条件，例如设施与位置的一对一分配规则，这些约束被嵌入到目标函数中作为附加项；最后，工具会根据QUBO的标准格式输出模型，使其能够直接被用于量子计算设备或混合求解器进行优化。整个过程完全自动化，避免了手动建模可能带来的冗长和易错问题。

目标函数分解：

约束条件的惩罚函数表示：

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5. 实验设计与数据来源

        实验部分的设计采用了QAPLIB中的多组标准实例，涵盖了不同规模和复杂度的问题，从小规模的esc16a到大规模的chr100a。这些实例的选择旨在全面评估工具在不同问题规模下的性能，包括从QAP到QUBO的转换时间、生成的QUBO矩阵的维度以及实际求解的效率。在小规模问题上，工具的转换时间在秒级以内，而对于中等规模问题，转换时间会增加到数分钟；对于大规模问题，例如设施数量超过100的实例，转换时间进一步显著增长，这与矩阵操作的复杂度直接相关。此外，实验还发现，对于同样规模的QAP实例，其结构特性可能对求解效率产生重要影响。例如，某些实例的矩阵稀疏性较高，导致其生成的QUBO矩阵在存储和计算上更具优势。

实验显示，从QAP到QUBO的转换时间随着规模呈指数增长：

• 小规模问题：转换时间在0.1秒以内；
• 中等规模问题：转换时间增加到数分钟；
• 大规模问题：转换时间显著增长，超出当前计算资源限制。

---

6. 求解性能分析

        从求解性能来看，本文提出的工具能够生成适用于现有量子计算硬件（如D-Wave）的QUBO模型，并在小规模实例上表现出良好的求解效率。然而，当前量子硬件的量子比特数和精度限制了其对大规模问题的适应能力。为此，实验还结合了Qbsolv这样的经典混合求解器，验证了工具在经典计算环境下的适用性。结果显示，对于设施数量在50以下的实例，工具生成的QUBO模型能够在合理时间内获得接近最优的解；但当设施数量进一步增加时，经典求解器的计算时间开始迅速增长。

---

7. 研究贡献

        本文的研究贡献不仅在于提出了一种高效的QAP到QUBO转化方法，还验证了这一工具在实际应用中的可行性。通过实验数据可以看出，该工具在提高建模效率和减少人工干预方面具有显著优势。同时，本文的研究还为量子计算在组合优化中的应用提供了新的方向和参考。在当前量子硬件尚不成熟的情况下，本文的方法为未来的硬件开发奠定了基础，也为混合算法的进一步研究提供了重要支持。

---

8. 局限性与未来展望

        然而，本文的研究也存在一些局限性。首先，工具生成的QUBO模型在大规模实例上的性能尚未充分评估，这主要受限于现有硬件的计算能力。其次，惩罚函数的设计在当前实现中仍然依赖于固定权重，未来可能需要进一步优化以适应不同问题的特性。此外，在工具的扩展性方面，未来可以尝试将其应用于更多类型的优化问题，例如物流网络优化、供应链设计和机器学习模型的超参数调优等。

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9. 结论

        总的来说，本文提出的QAP到QUBO自动化工具为组合优化问题的求解提供了一种新的视角和手段。通过将传统问题转化为适用于量子计算的数学模型，本文的方法不仅能够在现有硬件条件下提升求解效率，还为未来量子计算的进一步应用开辟了新的可能性。随着量子计算技术的快速发展，本文的研究有望在更大规模、更复杂的问题中发挥更重要的作用。

参考文献：《A new tool for automated transformation of Quadratic Assignment Problem instances to Quadratic Unconstrained Binary Optimisation models》

期刊：Expert Systems With Applications

作者：Umut Tosun

1. 引言

        二次分配问题（Quadratic Assignment Problem，简称QAP）是组合优化领域中最经典的难题之一，其定义是在一组设施和位置之间进行最优分配，使得设施之间的流量和位置之间的距离的加权总和最小化。这个问题在实际生活中的应用广泛，比如工厂布局设计、机场登机口分配、计算任务调度等。在工厂布局设计中，不同的机器需要合理摆放，以最小化它们之间的物流运输时间；在机场登机口分配中，需要减少乘客从航班到航班之间的步行距离；而在计算任务分配中，任务需要被分配到计算节点，以尽可能减少网络通信延迟。

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2. QAP的计算复杂性

        QAP的复杂性主要来源于其解空间的快速增长。对于一个规模为 nnn 的QAP，其可能的设施与位置的分配方式数量为 n!n!n!，即阶乘的增长速度。例如，当 n=10 时，可能的解空间大小为 10!，即3628800，而当 n=20 时，这一数字增长至 20!，超过2.43×10^18。这种指数增长的复杂性使得即使是中等规模的QAP也难以通过枚举法找到全局最优解。此外，QAP的目标函数通常包含多个约束，例如每个设施必须分配到一个位置、每个位置只能容纳一个设施等。传统的求解算法如分支定界法和动态规划在面对规模较小的问题时能够表现出色，但在规模较大的情况下，其计算资源需求和运行时间都会呈现爆炸式增长。因此，对于大规模的QAP问题，研究更高效的求解方法一直是优化领域的重要课题。

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3. QUBO模型的优势

        近年来，随着量子计算的兴起，QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimisation，二次无约束二进制优化）模型逐渐成为解决复杂优化问题的重要工具。QUBO模型的核心思想是将优化问题转化为无约束的二次形式，从而可以利用量子计算设备，如量子退火器，进行高效求解。QUBO模型在数学形式上具有很高的通用性，它可以通过引入惩罚函数将带约束的优化问题转化为等价的无约束问题。这种特性使其能够被广泛应用于多种组合优化问题中，包括最大割问题、旅行商问题以及本文研究的二次分配问题。然而，QAP到QUBO的转化并非直接而简单的过程，尤其是需要考虑如何在转化过程中保留问题的结构特性，同时最小化计算资源的开销。

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4. QAP到QUBO自动化工具

        为了应对上述挑战，本文提出了一种自动化工具，用于将QAP问题实例高效地映射为QUBO模型。该工具的开发基于以下核心思路：首先，通过构建流量矩阵和距离矩阵的克罗内克积，生成一个对称的权重矩阵 QQQ，这是QUBO模型的核心表示；其次，使用惩罚函数来表示QAP的约束条件，例如设施与位置的一对一分配规则，这些约束被嵌入到目标函数中作为附加项；最后，工具会根据QUBO的标准格式输出模型，使其能够直接被用于量子计算设备或混合求解器进行优化。整个过程完全自动化，避免了手动建模可能带来的冗长和易错问题。

目标函数分解：

约束条件的惩罚函数表示：

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5. 实验设计与数据来源

        实验部分的设计采用了QAPLIB中的多组标准实例，涵盖了不同规模和复杂度的问题，从小规模的esc16a到大规模的chr100a。这些实例的选择旨在全面评估工具在不同问题规模下的性能，包括从QAP到QUBO的转换时间、生成的QUBO矩阵的维度以及实际求解的效率。在小规模问题上，工具的转换时间在秒级以内，而对于中等规模问题，转换时间会增加到数分钟；对于大规模问题，例如设施数量超过100的实例，转换时间进一步显著增长，这与矩阵操作的复杂度直接相关。此外，实验还发现，对于同样规模的QAP实例，其结构特性可能对求解效率产生重要影响。例如，某些实例的矩阵稀疏性较高，导致其生成的QUBO矩阵在存储和计算上更具优势。

实验显示，从QAP到QUBO的转换时间随着规模呈指数增长：

• 小规模问题：转换时间在0.1秒以内；
• 中等规模问题：转换时间增加到数分钟；
• 大规模问题：转换时间显著增长，超出当前计算资源限制。

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6. 求解性能分析

        从求解性能来看，本文提出的工具能够生成适用于现有量子计算硬件（如D-Wave）的QUBO模型，并在小规模实例上表现出良好的求解效率。然而，当前量子硬件的量子比特数和精度限制了其对大规模问题的适应能力。为此，实验还结合了Qbsolv这样的经典混合求解器，验证了工具在经典计算环境下的适用性。结果显示，对于设施数量在50以下的实例，工具生成的QUBO模型能够在合理时间内获得接近最优的解；但当设施数量进一步增加时，经典求解器的计算时间开始迅速增长。

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7. 研究贡献

        本文的研究贡献不仅在于提出了一种高效的QAP到QUBO转化方法，还验证了这一工具在实际应用中的可行性。通过实验数据可以看出，该工具在提高建模效率和减少人工干预方面具有显著优势。同时，本文的研究还为量子计算在组合优化中的应用提供了新的方向和参考。在当前量子硬件尚不成熟的情况下，本文的方法为未来的硬件开发奠定了基础，也为混合算法的进一步研究提供了重要支持。

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8. 局限性与未来展望

        然而，本文的研究也存在一些局限性。首先，工具生成的QUBO模型在大规模实例上的性能尚未充分评估，这主要受限于现有硬件的计算能力。其次，惩罚函数的设计在当前实现中仍然依赖于固定权重，未来可能需要进一步优化以适应不同问题的特性。此外，在工具的扩展性方面，未来可以尝试将其应用于更多类型的优化问题，例如物流网络优化、供应链设计和机器学习模型的超参数调优等。

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9. 结论

        总的来说，本文提出的QAP到QUBO自动化工具为组合优化问题的求解提供了一种新的视角和手段。通过将传统问题转化为适用于量子计算的数学模型，本文的方法不仅能够在现有硬件条件下提升求解效率，还为未来量子计算的进一步应用开辟了新的可能性。随着量子计算技术的快速发展，本文的研究有望在更大规模、更复杂的问题中发挥更重要的作用。