模拟退火算法（Simulated Annealing，简称SA） 是一种基于物理退火过程的优化算法。它灵感来源于金属退火过程中的分子运动——在高温下，金属分子的自由度很高，随着温度的逐渐降低，分子排列逐渐有序，最终达到最低能量状态。退火算法通过模拟这一过程，解决复杂的优化问题。

在现实生活中，我们经常会遇到寻找最优解的问题，无论是优化路线、调度任务还是调整模型参数。

模拟退火算法（Simulated Annealing，简称SA）是解决这类问题的一个经典优化算法。今天，我们通过一个有趣的生活场景——“醉酒的人下山”，来形象地理解模拟退火算法的工作原理，并且提供一个简单的实现案例和Python代码。

什么是模拟退火算法？

模拟退火是一种启发式算法，灵感来源于金属退火的物理过程。在金属加热到高温后，逐渐冷却，金属分子会从不规则的结构调整为更稳定、更低能量的状态。模拟退火算法通过模拟这一过程来寻找问题的全局最优解。该算法在搜索空间中进行随机搜索，通过“接受”不太好的解来避免陷入局部最优解，最终朝着全局最优解逼近。

案例：醉酒的人下山

想象一个醉酒的人在山上迷失方向，目标是尽快到达山谷（即最低点）。这个醉酒的人步伐不稳定，他可能因为醉酒而随意走动，但他总是倾向于向低处走，以便尽快找到山谷。此时，模拟退火算法的过程就像这个醉酒的人下山。

当前状态： 醉酒的人站在山上的某个点，周围的地形起伏不平。

目标： 醉酒的人希望找到最低的山谷，也就是最低的能量状态（全局最优解）。

移动规则： 醉酒的人每次可以选择朝着四个方向走一步，每次走的距离是随机的，步伐可能向上、向下或平地走。

接受不好的解： 如果他走到的地方比现在的位置高（即走到了一个局部的“山峰”），他可能仍然会决定停留在这个地方，毕竟他可能找到了比当前状态稍好一点的位置（这就是模拟退火中的“接受劣解”）。

逐渐冷却： 随着醉酒的人下山，他的判断能力会变得更为理智（模拟退火中的温度逐渐降低），不再随意接受一些较差的解，而开始越来越倾向于选择更接近山谷的地方。

模拟退火的原理公式

模拟退火的核心是通过接受不太好的解来避免局部最优解的困境，并通过控制“温度”逐步使搜索趋向全局最优解。算法的基本步骤如下：

初始状态： 选择一个初始解，设置初始温度。

迭代过程： 在当前解附近随机生成一个新解。如果新解比当前解好，则接受新解；如果新解不好，则以一定的概率接受新解，这个概率由温度决定。

温度下降： 随着温度逐渐降低，接受劣解的概率逐渐减小，直到温度降至某个预设的最低值，算法结束。

数学上，接受新解的概率可以表示为：

其中：

Δ E 是新解和当前解之间的能量差（或目标函数值差）。

𝑇 是当前的温度。

随着温度的逐渐下降，接受较差解的概率逐渐降低，最终趋向全局最优解。

降温过程（Cooling Schedule）：随着算法的进行，温度逐渐下降，通常采用以下冷却方式

其中，0 < α < 1 是冷却系数。

终止条件：当温度下降到一个设定的阈值，或者经过足够的迭代后，算法终止。

通过这种模拟退火的过程，退火算法能够跳出局部最优解，逐步逼近全局最优解。

应用场景

模拟退火算法被广泛应用于以下几个领域：

组合优化问题：如旅行商问题（TSP）、背包问题、排序问题等。

机器学习： 如神经网络的权重优化、超参数调优。

图像处理： 如图像恢复、图像分割等。

工程优化： 如路径规划、生产调度等。

实现模拟退火算法的案例：寻找函数的最小值

下面我们用模拟退火算法来寻找一个简单的数学函数的最小值。假设我们要优化的目标函数是：𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ⋅ sin ⁡ ( 𝑥 )

我们的目标是找到这个函数的最小值。

Python代码实现

import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义目标函数
def objective_function(x):
    return x * math.sin(x)

# 模拟退火算法
def simulated_annealing(start_x, T_max, T_min, alpha, max_iter):
    x = start_x
    T = T_max
    best_x = x
    best_fx = objective_function(x)
    history = [(x, best_fx)]  # 保存历史记录以便绘图
    
    for i in range(max_iter):
        # 在当前解附近随机选择一个新解
        new_x = x + random.uniform(-1, 1)
        
        # 计算当前解和新解的目标函数值
        current_fx = objective_function(x)
        new_fx = objective_function(new_x)
        
        # 如果新解更优，接受新解
        if new_fx < current_fx:
            x = new_x
            if new_fx < best_fx:
                best_x = new_x
                best_fx = new_fx
        # 否则，按照一定的概率接受新解
        else:
            if random.uniform(0, 1) < math.exp((current_fx - new_fx) / T):
                x = new_x
        
        # 降温
        T *= alpha
        history.append((x, objective_function(x)))
        
        # 如果温度低于最小温度，结束
        if T < T_min:
            break
    
    return best_x, best_fx, history

# 设置参数
start_x = 5  # 初始解
T_max = 100  # 初始温度
T_min = 0.1  # 最小温度
alpha = 0.99  # 温度衰减率
max_iter = 1000  # 最大迭代次数

# 运行模拟退火算法
best_x, best_fx, history = simulated_annealing(start_x, T_max, T_min, alpha, max_iter)

# 打印最优解
print(f"最优解: x = {best_x}, f(x) = {best_fx}")

# 绘制搜索过程图
x_vals = [h[0] for h in history]
y_vals = [h[1] for h in history]

plt.plot(x_vals, y_vals, label='Search Path')
plt.scatter(best_x, best_fx, color='red', label='Best Solution')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Simulated Annealing Search Path')
plt.legend()
plt.show()

目标函数：objective_function(x) 定义了我们要优化的函数𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ⋅ sin ⁡ ( 𝑥 )

模拟退火函数：simulated_annealing 实现了模拟退火算法的核心流程，包括生成新的候选解、接受新解的概率判断、以及逐步降低温度的过程。

绘图：为了直观展示退火过程，我们使用 matplotlib 来绘制模拟退火算法的搜索路径。

总结

模拟退火算法是一个强大的全局优化算法，广泛应用于各种实际问题中。通过模拟物理退火的过程，算法能够避免局部最优解的困境，最终找到全局最优解

在理解了模拟退火算法的基本原理后，我们通过生活中的“醉酒的人下山”的比喻，形象地展示了这一过程。希望通过本篇文章，你能够更好地理解模拟退火算法，并能将其应用于实际问题中。
————————————————

本文转载自CSDN博主：搞技术的妹子

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

原文链接：https://blog.csdn.net/viviwiky/article/details/143840005

模拟退火算法（Simulated Annealing，简称SA） 是一种基于物理退火过程的优化算法。它灵感来源于金属退火过程中的分子运动——在高温下，金属分子的自由度很高，随着温度的逐渐降低，分子排列逐渐有序，最终达到最低能量状态。退火算法通过模拟这一过程，解决复杂的优化问题。

在现实生活中，我们经常会遇到寻找最优解的问题，无论是优化路线、调度任务还是调整模型参数。

模拟退火算法（Simulated Annealing，简称SA）是解决这类问题的一个经典优化算法。今天，我们通过一个有趣的生活场景——“醉酒的人下山”，来形象地理解模拟退火算法的工作原理，并且提供一个简单的实现案例和Python代码。

什么是模拟退火算法？

模拟退火是一种启发式算法，灵感来源于金属退火的物理过程。在金属加热到高温后，逐渐冷却，金属分子会从不规则的结构调整为更稳定、更低能量的状态。模拟退火算法通过模拟这一过程来寻找问题的全局最优解。该算法在搜索空间中进行随机搜索，通过“接受”不太好的解来避免陷入局部最优解，最终朝着全局最优解逼近。

案例：醉酒的人下山

想象一个醉酒的人在山上迷失方向，目标是尽快到达山谷（即最低点）。这个醉酒的人步伐不稳定，他可能因为醉酒而随意走动，但他总是倾向于向低处走，以便尽快找到山谷。此时，模拟退火算法的过程就像这个醉酒的人下山。

当前状态： 醉酒的人站在山上的某个点，周围的地形起伏不平。

目标： 醉酒的人希望找到最低的山谷，也就是最低的能量状态（全局最优解）。

移动规则： 醉酒的人每次可以选择朝着四个方向走一步，每次走的距离是随机的，步伐可能向上、向下或平地走。

接受不好的解： 如果他走到的地方比现在的位置高（即走到了一个局部的“山峰”），他可能仍然会决定停留在这个地方，毕竟他可能找到了比当前状态稍好一点的位置（这就是模拟退火中的“接受劣解”）。

逐渐冷却： 随着醉酒的人下山，他的判断能力会变得更为理智（模拟退火中的温度逐渐降低），不再随意接受一些较差的解，而开始越来越倾向于选择更接近山谷的地方。

模拟退火的原理公式

模拟退火的核心是通过接受不太好的解来避免局部最优解的困境，并通过控制“温度”逐步使搜索趋向全局最优解。算法的基本步骤如下：

初始状态： 选择一个初始解，设置初始温度。

迭代过程： 在当前解附近随机生成一个新解。如果新解比当前解好，则接受新解；如果新解不好，则以一定的概率接受新解，这个概率由温度决定。

温度下降： 随着温度逐渐降低，接受劣解的概率逐渐减小，直到温度降至某个预设的最低值，算法结束。

数学上，接受新解的概率可以表示为：

其中：

Δ E 是新解和当前解之间的能量差（或目标函数值差）。

𝑇 是当前的温度。

随着温度的逐渐下降，接受较差解的概率逐渐降低，最终趋向全局最优解。

降温过程（Cooling Schedule）：随着算法的进行，温度逐渐下降，通常采用以下冷却方式

其中，0 < α < 1 是冷却系数。

终止条件：当温度下降到一个设定的阈值，或者经过足够的迭代后，算法终止。

通过这种模拟退火的过程，退火算法能够跳出局部最优解，逐步逼近全局最优解。

应用场景

模拟退火算法被广泛应用于以下几个领域：

组合优化问题：如旅行商问题（TSP）、背包问题、排序问题等。

机器学习： 如神经网络的权重优化、超参数调优。

图像处理： 如图像恢复、图像分割等。

工程优化： 如路径规划、生产调度等。

实现模拟退火算法的案例：寻找函数的最小值

下面我们用模拟退火算法来寻找一个简单的数学函数的最小值。假设我们要优化的目标函数是：𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ⋅ sin ⁡ ( 𝑥 )

我们的目标是找到这个函数的最小值。

Python代码实现

import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义目标函数
def objective_function(x):
    return x * math.sin(x)

# 模拟退火算法
def simulated_annealing(start_x, T_max, T_min, alpha, max_iter):
    x = start_x
    T = T_max
    best_x = x
    best_fx = objective_function(x)
    history = [(x, best_fx)]  # 保存历史记录以便绘图
    
    for i in range(max_iter):
        # 在当前解附近随机选择一个新解
        new_x = x + random.uniform(-1, 1)
        
        # 计算当前解和新解的目标函数值
        current_fx = objective_function(x)
        new_fx = objective_function(new_x)
        
        # 如果新解更优，接受新解
        if new_fx < current_fx:
            x = new_x
            if new_fx < best_fx:
                best_x = new_x
                best_fx = new_fx
        # 否则，按照一定的概率接受新解
        else:
            if random.uniform(0, 1) < math.exp((current_fx - new_fx) / T):
                x = new_x
        
        # 降温
        T *= alpha
        history.append((x, objective_function(x)))
        
        # 如果温度低于最小温度，结束
        if T < T_min:
            break
    
    return best_x, best_fx, history

# 设置参数
start_x = 5  # 初始解
T_max = 100  # 初始温度
T_min = 0.1  # 最小温度
alpha = 0.99  # 温度衰减率
max_iter = 1000  # 最大迭代次数

# 运行模拟退火算法
best_x, best_fx, history = simulated_annealing(start_x, T_max, T_min, alpha, max_iter)

# 打印最优解
print(f"最优解: x = {best_x}, f(x) = {best_fx}")

# 绘制搜索过程图
x_vals = [h[0] for h in history]
y_vals = [h[1] for h in history]

plt.plot(x_vals, y_vals, label='Search Path')
plt.scatter(best_x, best_fx, color='red', label='Best Solution')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Simulated Annealing Search Path')
plt.legend()
plt.show()

目标函数：objective_function(x) 定义了我们要优化的函数𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ⋅ sin ⁡ ( 𝑥 )

模拟退火函数：simulated_annealing 实现了模拟退火算法的核心流程，包括生成新的候选解、接受新解的概率判断、以及逐步降低温度的过程。

绘图：为了直观展示退火过程，我们使用 matplotlib 来绘制模拟退火算法的搜索路径。

总结

模拟退火算法是一个强大的全局优化算法，广泛应用于各种实际问题中。通过模拟物理退火的过程，算法能够避免局部最优解的困境，最终找到全局最优解

在理解了模拟退火算法的基本原理后，我们通过生活中的“醉酒的人下山”的比喻，形象地展示了这一过程。希望通过本篇文章，你能够更好地理解模拟退火算法，并能将其应用于实际问题中。
————————————————

本文转载自CSDN博主：搞技术的妹子

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

原文链接：https://blog.csdn.net/viviwiky/article/details/143840005