摘要

本文研究了基于模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）的多车型车辆路径问题（Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem, HFVRP）求解方法。HFVRP 是一种复杂的组合优化问题，其目标是在满足客户需求的前提下，通过合理选择车辆类型及路径来最小化总成本。

模拟退火算法通过模拟物理退火过程，逐步接近最优解，具有跳出局部最优的能力。实验结果表明，SA 能有效优化 HFVRP 的路径规划，显著降低物流成本。

理论

多车型车辆路径问题（HFVRP）是车辆路径问题的扩展版，涉及不同类型的车辆，且各类车辆的容量、成本等约束条件不同。HFVRP 的目标是最小化车辆的总运输成本，包括行驶距离和车辆选择成本。

模拟退火算法是一种基于蒙特卡洛方法的全局优化算法，通过设置初始温度，逐步降低温度，随机生成新的解并接受或拒绝，最终收敛到最优解。该算法能够避免陷入局部最优，适用于求解 HFVRP 等复杂优化问题。

实验结果

实验在随机生成的多车型路径规划实例中进行了验证，实验结果如下：

初始路径布局（左图）：表示优化前的路径，各车辆服务的客户分布较分散，路径交叉较多，总成本较高。

优化后路径布局（右图）：经过模拟退火算法优化后，路径更为合理，减少了不必要的路径交叉和距离，显著降低了总成本。

适应度收敛曲线（下图）：显示了适应度值（总成本）在 500 次迭代中的变化过程。可以看到，适应度值在前期快速下降，逐渐收敛到稳定值，表明 SA 算法在 HFVRP 优化中具有较好的收敛性能。

部分代码

% 初始化参数
numVehicles = 5; % 车辆类型数量
numCustomers = 20; % 客户数量
initialTemp = 1000; % 初始温度
finalTemp = 1; % 最终温度
coolingRate = 0.95; % 降温速率
maxIter = 500; % 最大迭代次数

% 随机生成客户位置和需求
customerLocations = rand(numCustomers, 2) * 100;
customerDemands = randi([1, 10], numCustomers, 1);

% 初始解和适应度
currentSolution = initializeSolution(numVehicles, numCustomers);
currentCost = calculateCost(currentSolution, customerLocations, customerDemands);

% 模拟退火过程
temp = initialTemp;
for iter = 1:maxIter
    % 生成新解并计算成本
    newSolution = perturbSolution(currentSolution);
    newCost = calculateCost(newSolution, customerLocations, customerDemands);
    
    % 判断是否接受新解
    if acceptSolution(currentCost, newCost, temp)
        currentSolution = newSolution;
        currentCost = newCost;
    end
    
    % 降温
    temp = temp * coolingRate;
    costHistory(iter) = currentCost; % 记录每次迭代的成本
end

% 绘制适应度收敛曲线
figure;
plot(costHistory, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度值');
title('适应度收敛曲线');

% 绘制优化后路径
plotRoutes(currentSolution, customerLocations);
title('SA优化后路径布局');

% 辅助函数
function solution = initializeSolution(numVehicles, numCustomers)
    % 初始化解决方案
end

function cost = calculateCost(solution, locations, demands)
    % 计算路径总成本
end

function newSolution = perturbSolution(solution)
    % 生成新解
end

function accept = acceptSolution(currentCost, newCost, temp)
    % 判断是否接受新解
    if newCost < currentCost
        accept = true;
    else
        accept = exp((currentCost - newCost) / temp) > rand();
    end
end

function plotRoutes(solution, locations)
    % 绘制路径
end

参考文献

1.Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., & Vecchi, M. P. (1983). Optimization by Simulated Annealing. Science, 220(4598), 671-680.

2.Laporte, G., & Nobert, Y. (1987). Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem. Annals of Discrete Mathematics, 31, 147-184.

3.Osman, I. H., & Laporte, G. (1996). Metaheuristics: A Bibliographic Survey. Annals of Operations Research, 63(5), 513-628.

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本文转载自微信公众号：梦想科研社

摘要

本文研究了基于模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）的多车型车辆路径问题（Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem, HFVRP）求解方法。HFVRP 是一种复杂的组合优化问题，其目标是在满足客户需求的前提下，通过合理选择车辆类型及路径来最小化总成本。

模拟退火算法通过模拟物理退火过程，逐步接近最优解，具有跳出局部最优的能力。实验结果表明，SA 能有效优化 HFVRP 的路径规划，显著降低物流成本。

理论

多车型车辆路径问题（HFVRP）是车辆路径问题的扩展版，涉及不同类型的车辆，且各类车辆的容量、成本等约束条件不同。HFVRP 的目标是最小化车辆的总运输成本，包括行驶距离和车辆选择成本。

模拟退火算法是一种基于蒙特卡洛方法的全局优化算法，通过设置初始温度，逐步降低温度，随机生成新的解并接受或拒绝，最终收敛到最优解。该算法能够避免陷入局部最优，适用于求解 HFVRP 等复杂优化问题。

实验结果

实验在随机生成的多车型路径规划实例中进行了验证，实验结果如下：

初始路径布局（左图）：表示优化前的路径，各车辆服务的客户分布较分散，路径交叉较多，总成本较高。

优化后路径布局（右图）：经过模拟退火算法优化后，路径更为合理，减少了不必要的路径交叉和距离，显著降低了总成本。

适应度收敛曲线（下图）：显示了适应度值（总成本）在 500 次迭代中的变化过程。可以看到，适应度值在前期快速下降，逐渐收敛到稳定值，表明 SA 算法在 HFVRP 优化中具有较好的收敛性能。

部分代码

% 初始化参数
numVehicles = 5; % 车辆类型数量
numCustomers = 20; % 客户数量
initialTemp = 1000; % 初始温度
finalTemp = 1; % 最终温度
coolingRate = 0.95; % 降温速率
maxIter = 500; % 最大迭代次数

% 随机生成客户位置和需求
customerLocations = rand(numCustomers, 2) * 100;
customerDemands = randi([1, 10], numCustomers, 1);

% 初始解和适应度
currentSolution = initializeSolution(numVehicles, numCustomers);
currentCost = calculateCost(currentSolution, customerLocations, customerDemands);

% 模拟退火过程
temp = initialTemp;
for iter = 1:maxIter
    % 生成新解并计算成本
    newSolution = perturbSolution(currentSolution);
    newCost = calculateCost(newSolution, customerLocations, customerDemands);
    
    % 判断是否接受新解
    if acceptSolution(currentCost, newCost, temp)
        currentSolution = newSolution;
        currentCost = newCost;
    end
    
    % 降温
    temp = temp * coolingRate;
    costHistory(iter) = currentCost; % 记录每次迭代的成本
end

% 绘制适应度收敛曲线
figure;
plot(costHistory, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度值');
title('适应度收敛曲线');

% 绘制优化后路径
plotRoutes(currentSolution, customerLocations);
title('SA优化后路径布局');

% 辅助函数
function solution = initializeSolution(numVehicles, numCustomers)
    % 初始化解决方案
end

function cost = calculateCost(solution, locations, demands)
    % 计算路径总成本
end

function newSolution = perturbSolution(solution)
    % 生成新解
end

function accept = acceptSolution(currentCost, newCost, temp)
    % 判断是否接受新解
    if newCost < currentCost
        accept = true;
    else
        accept = exp((currentCost - newCost) / temp) > rand();
    end
end

function plotRoutes(solution, locations)
    % 绘制路径
end

参考文献

1.Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., & Vecchi, M. P. (1983). Optimization by Simulated Annealing. Science, 220(4598), 671-680.

2.Laporte, G., & Nobert, Y. (1987). Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem. Annals of Discrete Mathematics, 31, 147-184.

3.Osman, I. H., & Laporte, G. (1996). Metaheuristics: A Bibliographic Survey. Annals of Operations Research, 63(5), 513-628.

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本文转载自微信公众号：梦想科研社