本文是论文《 Quantum Annealing-Inspired Optimization for Space-TimeCoding Metasurface 》的论文复现，论文解读请见：【论文精读】量子退火启发的时空编码超表面优化。

  研究背景与问题描述

研究背景：超表面技术演进与空时编码的突破

超表面(Metasurfaces)作为一种由亚波长尺度单元(超原子)周期性或非周期性排列构成的人工电磁结构，通过精确设计超原子的几何形状、尺寸及材料属性，可实现对电磁波振幅、相位、极化状态的灵活调控，其核心优势在于突破传统电磁器件的体积限制，实现“平面化、轻量化、高集成”的电磁波操控功能，已在波束成形(如 5G 基站的定向通信)、高频滤波(卫星通信抗干扰)、波前整形(光学成像)等领域展现出不可替代的应用价值。

随着无线通信向 5G-A/6G 演进，对动态波束调控(如高速移动场景下的波束跟踪)、频率捷变(多频段协同通信)的需求日益迫切，传统静态超表面因仅具备空间维度的调控能力，无法满足时间维度的动态响应需求。为此，空时编码超表面(Space-Time Coding Metasurfaces) 被提出——通过引入时间调制维度(即超原子的电磁响应随时间序列动态变化)，将“空间-时间”维度融合为统一调控域，实现对电磁波的动态频率选择(如特定谐波的增强 / 抑制)、实时波束转向(毫秒级响应)等功能，为下一代无线通信、雷达探测、量子通信等领域提供了全新技术路径 。

然而，空时编码超表面的功能实现高度依赖优化算法，其优化问题本质是高维离散组合优化问题：需同时确定“空间维度的超原子排布”与 “时间维度的调制序列”——假设超表面空间规模为M×N(M行N列超原子)、时间序列长度为L(L个时间槽)、相位编码精度为n bit(如 2 比特对应 4 种相位状态)，则优化变量总数为M×N×L×n bit，变量规模随时间维度L的增加呈线性增长，导致计算复杂度呈指数级上升。

传统优化算法(如遗传算法 GA、模拟退火 SA)在处理该问题时面临显著瓶颈，8×8×8×2(8 行 8 列超原子、8 个时间槽、2 比特编码)的中等规模超表面为例，GA 单次优化需 662 秒，时间复杂度随变量数呈O(N³)增长；而现有改进方法(如等效幅相提取法、机器学习辅助优化 )需先对超表面的电磁响应进行预处理(如离线训练模型、提取等效参数)，不仅增加了流程复杂度，还无法实现 “从优化目标到超原子配置”的端到端优化，进一步限制了空时编码超表面的规模化应用(如15×15×8×2的大规模场景)。

问题描述：高维离散优化的核心挑战与解决方案框架

空时编码超表面的核心优化目标是：在给定电磁波操控需求(如主波束指向θ₀, φ₀、旁瓣抑制要求、特定谐波增强)下，快速找到“超原子空间排布+时间调制序列” 的最优组合，使得超表面的远场散射特性满足设计指标。具体挑战可拆解为三点：

维度耦合性：空间维度的超原子相位与时间维度的调制序列存在强耦合(某一超原子在不同时间槽的相位会共同影响谐波波束的形成)，无法单独优化某一维度；

离散性约束：超原子的相位状态由硬件实现决定(如2比特编码对应4种离散相位)，需满足整数离散约束，无法采用连续优化算法(如梯度下降)；

实时性需求：5G/6G 通信、雷达探测等场景要求超表面在毫秒级完成波束重构，传统算法的秒级优化时间无法满足需求。

为解决上述挑战，论文提出“物理模型 - 量子启发算法 - 硬件求解” 的一体化框架：

物理映射：将超表面的散射行为映射为二进制自旋模型(Ising 模型)，通过自旋变量表示超原子的离散相位状态；

算法优化：采用量子启发的模拟分叉(SB)算法求解自旋模型，平衡优化精度与计算效率；

硬件验证：将自旋模型转化为二次无约束二进制优化(QUBO)模型，利用相干光量子计算机(CIM，KaiWU-CPQC-550)进行真机求解，借助量子硬件的并行计算特性突破 “维度灾难”。

本课题基于上述框架，重点完成 “QUBO 模型推导 - 真机求解 - 性能验证” 三大任务，验证该量子启发方法在实际硬件上的可行性与高效性

  QUBO 模型推导与建模及CIM真机求解性能分析

一、核心物理量与目标函数定义

1. 散射功率表达式

空时编码超表面的远场散射功率是衡量其性能的核心物理量，需考虑“空间-时间-谐波”三维因素，

第h次谐波（对应频率f_c + hf₀，fc为中心频率，f₀ = 1/T₀为时间调制频率）的远场散射功率公式为：

• 超原子时空统-索引p, q：整合“空间坐标+时间槽”的唯一索引，p = (m − 1)NL + (n − 1)L + l：m（1∼ M）、n（1  ∼ N）为超原子空间行/列坐标:

l（1∼ L）为时间槽索引；

N为列数，L为时间序列长度

取值范围，整数 1 ≤ p, q ≤ N_s(N_s = M*N*L 为时空超原子总数)

• 超原子反射系数 Γ_p ：描述超原子对入射波的反射能力，空时编码中采用纯相位调制（|Γ_p|=1）

• 时空耦合系数A_pq：表征超原子p与q在“空间相位差+时间调制差”下的电磁耦合强度

 

• 单个超原子的远场方向分布图(原论文假设为余弦分布)：E(θ, φ) = cosθ

• 谐波 sinc 因子 ：时间调制产生的谐波功率衰减因子，L越大（时间槽越多），非目标谐波衰减越显著，h = 0（中心频率）时sinc²(0) = 1（功率最大）；h = ±L时为 0（谐波抑制）

• 空间波数分量k_x, k_y：入射波在x/y方向的波数分量，与波束指向θ₀, φ₀直接相关

   k_x = k₀sin θcos φ，k_y = k₀sin θsin φ，k₀ = 2π/λ₀ (λ₀为中心波长)

• 超原子间距d：相邻超原子在x/y方向的距离，需满足奈奎斯特采样条件以避免栅瓣，通常取d = λ₀/2（避免相邻超原子的电磁耦合与栅瓣干扰）

2. 优化目标与哈密顿量

空时编码超表面的典型优化目标是“增强主波束功率+抑制旁瓣功率+抑制非目标谐波”，由于量子启发算法（如 SB）、CIM 硬件均以“最小化能量函数（哈密顿量）”为目标，需将“功率最大化”转化为“哈密顿量最小化”，具体推导如下：

目标函数的物理意义拆解:​

主波束增强：最大化目标方向((θ₀, φ₀))的主波束功率P_h(θ₀, φ₀)，确保信号在目标方向的辐射强度；

旁瓣抑制：最小化旁瓣区域的平均功率Pside（旁瓣会导致能量浪费、通信干扰），旁瓣区域定义为θ ∉ θ₀ − Δ, θ₀ + Δ（Δ为旁瓣区域阈值，通常取 0.1rad）；

谐波控制：抑制非目标谐波（如h = ±1, ±2）的功率，避免频率资源浪费。

哈密顿量构建将上述目标整合为加权求和形式，再取负转化为 “最小化问题”，哈密顿量H定义为：

H = −P_总 = −(w_main ⋅ P_h(θ₀, φ₀) + w_side ⋅ P_side)      (3)

• w_main > 0：主波束增强权重，取值需大于 0 以强化主目标（实验中取 10.0，确保主波束功率优先）；

• w_side < 0 ：旁瓣抑制权重，负值表示对旁瓣功率的 “惩罚”（实验中取 − 1.0，避免过度惩罚导致主瓣功率下降）；

• P_side：旁瓣区域平均功率，通过离散角度积分近似计算 —— 将旁瓣区域θ ∈ [−π/2, π/2 ]/ [θ₀ − Δ, θ₀ + Δ] 离散为K个角度点（实验中K = 20）P_side =

二、1 比特编码 QUBO 模型推导​

1. 反射系数与自旋变量的物理映射​

1 比特编码下，超原子的反射系数（纯相位）直接由二进制自旋变量表示，即：

Γ_p = s_p  (s_p ∈ {−1, 1})        (4)

物理意义：s_p = 1对应一种相位状态（如 0），s_p = −1对应另一种相位状态（如π），通过自旋变量的二进制特性描述超原子相位的离散性，同时满足|Γ_p| = 1的纯相位约束。

2. 哈密顿量简化与 QUBO 系数

将式 (4) 代入式 (3) ，哈密顿量简化为：

其中J_pq为自旋耦合系数，整合主波束、旁瓣与谐波的权重信息：

J_pq = w_main ⋅ A_pq(θ₀, φ₀) + w_side ⋅ A_pq^side           (6)

•A_pq(θ₀, φ₀)：目标方向(θ₀, φ₀)的时空耦合系数；

•A_pq^side：旁瓣区域的平均时空耦合系数A_pq^side =

由于 QUBO 模型采用二进制变量x_p ∈ {0, 1}，需通过标准映射s_p = 2x_p − 1转化，最终 QUBO 系数结果为：

线性项（对角项）： a_p = ；

二次项（非对角项）：b_pq = −8J_pq  (p < q)；

QUBO 矩阵形式：Q_1bit ∈ ℝ^N × N （N为自旋变量总数）

三、2 比特编码 QUBO 模型推导

1. 反射系数与自旋变量的物理映射

2 比特编码中，单个超原子的反射系数由 2 个自旋变量(s_p1, s_p2 ∈ {−1, 1})线性组合表示：

Γp = c1s_p1 + c2s_p2    (7)

• 其中c₁, c₂为编码系数，需满足纯相位约束(|Γ_p| = 1)与相位均匀分布（4 种相位间隔π/2），推导过程如下：
由于s_p1, s_p2 ∈ {−1, 1}，Γ_p的所有可能取值为：

Γ_p ∈ {c₁ + c₂, c₁ − c₂, −c₁ + c₂, −c₁ − c₂}    (8)

对任意组合（如c1 + c2），展开模的平方：

   |c1 + c2|² = (c1 + c2)(c1^* + c2^*) = |c1|² + |c2|² + c1c2^* + c1^*c2 = 1     (9)

对c1 − c2展开模的平方：

|c1 − c2|² = (c1 − c2)(c1^* − c2^*) = |c1|² + |c2|² − (c1c2^* + c1^*c2) = 1      (10)

两式联立，得到 2 个关键约束（c^*表示复数共轭）：
归一化条件：|c1|² + |c2|² = 1（系数模的平方和为 1）；​

正交条件：**c1c2^* + c1^*c2 = 0（系数交叉项实部为 0）。

为简化计算且符合正交条件，设c1为实数、c2为纯虚数：

令c1 = a（a为实数），c2 = b ⋅ j（b为实数，j = ）

代入|c1|² + |c2|² = 1，得 a² + b² = 1。

为实现 “2 比特 4 种相位均匀分布（间隔π/2）”，取对称值a = b = ，最终：

• （实数，满足归一化）；
• （纯虚数，满足正交与归一化）。

2. 哈密顿量简化与QUBO 系数

代入式 (3) 后，哈密顿量含“自旋-自旋跨比特耦合项”：

其中 J_pq^a, b = c_ac_b^*J_pq（c_b^*为c_b的共轭,a, b = 1, 2对应两个自旋比特），J_pq同 1 比特定义。

转化为 QUBO 模型:

线性项（对角项）：a_{pa = ;}

二次项（非对角项）：b_pa, qb = −8J_pq^a, b  (pa < qb);

(索引规则pa < qb表示先比较超原子索引p < q，若p = q则比较比特索引a < b)

QUBO 矩阵形式：Q_2bit ∈ ℝ^2N × 2N （N为超原子总数，2N为自旋变量总数）。

四、旁瓣抑制的整合逻辑

旁瓣抑制通过 “修正时空耦合系数A_pq”实现，核心是将旁瓣区域的功率贡献整合到自旋耦合系数J_pq中，具体步骤如下：

•旁瓣离散角度集：

Θ_side = {θ_k ∣ θ_k ∉ θ₀ − Δ, θ₀ + Δ, k = 1, 2, ..., K}：（实验中K = 20，θ_k ∈ −π/2, π/2）；

• A_pq(θ_k, φ₀)为超原子p, q在旁瓣角度θ_k下的时空耦合系数；

• 更新J_pq ， 1 比特编码中J_pq = Re(A_pq^total) ，2比特编码中J_pq^a, b = c_ac_b^* ⋅ Re(A_pq^total)，（取实部，因哈密顿量需为实数）

五、建模步骤总结

六、CIM真机(KaiWU-CPQC-550)求解性能分析

注：由于CIM真机限制(数据比特不超过550bit)，仅进行M, N, L,n-bit=8*8*4*2的情况求解(原论文为8*8*8*2)

1.参数设置及程序执行结果

2.真机求解最优相位配置

3.结果解码及可视化

1.相位解码过程

将 CIM 输出的二进制变量x_pa转换为超原子的离散相位，步骤如下：

二进制→自旋变量：通过s_pa = 2x_pa − 1将x_pa ∈ {0, 1}转换为s_pa ∈ {−1, 1}；

自旋变量→反射系数：通过Γ_p = c₁s_p1 + c₂s_p2计算反射系数；

反射系数→相位：提取Γ_p的相位信息，得到超原子p在对应时间槽的相位值。

2.核心性能指标计算过程

3.性能指标可视化​

通过极坐标 / 直角坐标方向图展示远场散射特性：​

极坐标图：直观呈现主瓣指向（−14.9^∘）与旁瓣分布，主瓣功率归一化为 1.0，旁瓣最大值为 0.0846：直角坐标图：标注目标角度（−14.5^∘）、主瓣角度（−14.9 ^∘）、3dB 波束宽度（13.27^∘）及旁瓣抑制比（−10.72 dB），量化性能指标。

4.性能分析

1.与论文原始算法的性能对比

2.时间性能对比

3.维度可扩展性

a.本次实验维度：8×8×4×2 = 512 个二进制变量。

b.论文最大实验维度：15×15×8×2 = 3600 变量。

c.根据论文拟合的复杂度模型 T～N1.82，CIM 真机 3600 变量单次采样理论耗时 < 5 ms，远快于 SB 的秒级耗时。

5.总结

QUBO+CIM 通过物理模型与 QUBO 矩阵的紧耦合，实现主瓣、旁瓣、谐波的协同优化，精度全面超越传统算法。QUBO 模型的计算复杂度主要集中在矩阵构造(O(N²)，N 为变量数)，而 CIM 求解时间几乎不随维度增加(硬件并行特性)，因此在高维时空编码超表面中优势更明显，其依托CIM 硬件并行性，将单次求解时间压缩至毫秒级，突破传统算法的 “维度灾难”。

QUBO+CIM 的预处理(一次性成本)+ 实时采样(毫秒级) 模式，完美适配5G/6G 大规模时空编码超表面的动态优化需求，是传统算法的颠覆性升级。

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作者：张芝涛
联系方式：2259399085@qq.com
18208610235

本文是论文《 Quantum Annealing-Inspired Optimization for Space-TimeCoding Metasurface 》的论文复现，论文解读请见：【论文精读】量子退火启发的时空编码超表面优化。

  研究背景与问题描述

研究背景：超表面技术演进与空时编码的突破

超表面(Metasurfaces)作为一种由亚波长尺度单元(超原子)周期性或非周期性排列构成的人工电磁结构，通过精确设计超原子的几何形状、尺寸及材料属性，可实现对电磁波振幅、相位、极化状态的灵活调控，其核心优势在于突破传统电磁器件的体积限制，实现“平面化、轻量化、高集成”的电磁波操控功能，已在波束成形(如 5G 基站的定向通信)、高频滤波(卫星通信抗干扰)、波前整形(光学成像)等领域展现出不可替代的应用价值。

随着无线通信向 5G-A/6G 演进，对动态波束调控(如高速移动场景下的波束跟踪)、频率捷变(多频段协同通信)的需求日益迫切，传统静态超表面因仅具备空间维度的调控能力，无法满足时间维度的动态响应需求。为此，空时编码超表面(Space-Time Coding Metasurfaces) 被提出——通过引入时间调制维度(即超原子的电磁响应随时间序列动态变化)，将“空间-时间”维度融合为统一调控域，实现对电磁波的动态频率选择(如特定谐波的增强 / 抑制)、实时波束转向(毫秒级响应)等功能，为下一代无线通信、雷达探测、量子通信等领域提供了全新技术路径 。

然而，空时编码超表面的功能实现高度依赖优化算法，其优化问题本质是高维离散组合优化问题：需同时确定“空间维度的超原子排布”与 “时间维度的调制序列”——假设超表面空间规模为M×N(M行N列超原子)、时间序列长度为L(L个时间槽)、相位编码精度为n bit(如 2 比特对应 4 种相位状态)，则优化变量总数为M×N×L×n bit，变量规模随时间维度L的增加呈线性增长，导致计算复杂度呈指数级上升。

传统优化算法(如遗传算法 GA、模拟退火 SA)在处理该问题时面临显著瓶颈，8×8×8×2(8 行 8 列超原子、8 个时间槽、2 比特编码)的中等规模超表面为例，GA 单次优化需 662 秒，时间复杂度随变量数呈O(N³)增长；而现有改进方法(如等效幅相提取法、机器学习辅助优化 )需先对超表面的电磁响应进行预处理(如离线训练模型、提取等效参数)，不仅增加了流程复杂度，还无法实现 “从优化目标到超原子配置”的端到端优化，进一步限制了空时编码超表面的规模化应用(如15×15×8×2的大规模场景)。

问题描述：高维离散优化的核心挑战与解决方案框架

空时编码超表面的核心优化目标是：在给定电磁波操控需求(如主波束指向θ₀, φ₀、旁瓣抑制要求、特定谐波增强)下，快速找到“超原子空间排布+时间调制序列” 的最优组合，使得超表面的远场散射特性满足设计指标。具体挑战可拆解为三点：

维度耦合性：空间维度的超原子相位与时间维度的调制序列存在强耦合(某一超原子在不同时间槽的相位会共同影响谐波波束的形成)，无法单独优化某一维度；

离散性约束：超原子的相位状态由硬件实现决定(如2比特编码对应4种离散相位)，需满足整数离散约束，无法采用连续优化算法(如梯度下降)；

实时性需求：5G/6G 通信、雷达探测等场景要求超表面在毫秒级完成波束重构，传统算法的秒级优化时间无法满足需求。

为解决上述挑战，论文提出“物理模型 - 量子启发算法 - 硬件求解” 的一体化框架：

物理映射：将超表面的散射行为映射为二进制自旋模型(Ising 模型)，通过自旋变量表示超原子的离散相位状态；

算法优化：采用量子启发的模拟分叉(SB)算法求解自旋模型，平衡优化精度与计算效率；

硬件验证：将自旋模型转化为二次无约束二进制优化(QUBO)模型，利用相干光量子计算机(CIM，KaiWU-CPQC-550)进行真机求解，借助量子硬件的并行计算特性突破 “维度灾难”。

本课题基于上述框架，重点完成 “QUBO 模型推导 - 真机求解 - 性能验证” 三大任务，验证该量子启发方法在实际硬件上的可行性与高效性

  QUBO 模型推导与建模及CIM真机求解性能分析

一、核心物理量与目标函数定义

1. 散射功率表达式

空时编码超表面的远场散射功率是衡量其性能的核心物理量，需考虑“空间-时间-谐波”三维因素，

第h次谐波（对应频率f_c + hf₀，fc为中心频率，f₀ = 1/T₀为时间调制频率）的远场散射功率公式为：

• 超原子时空统-索引p, q：整合“空间坐标+时间槽”的唯一索引，p = (m − 1)NL + (n − 1)L + l：m（1∼ M）、n（1  ∼ N）为超原子空间行/列坐标:

l（1∼ L）为时间槽索引；

N为列数，L为时间序列长度

取值范围，整数 1 ≤ p, q ≤ N_s(N_s = M*N*L 为时空超原子总数)

• 超原子反射系数 Γ_p ：描述超原子对入射波的反射能力，空时编码中采用纯相位调制（|Γ_p|=1）

• 时空耦合系数A_pq：表征超原子p与q在“空间相位差+时间调制差”下的电磁耦合强度

 

• 单个超原子的远场方向分布图(原论文假设为余弦分布)：E(θ, φ) = cosθ

• 谐波 sinc 因子 ：时间调制产生的谐波功率衰减因子，L越大（时间槽越多），非目标谐波衰减越显著，h = 0（中心频率）时sinc²(0) = 1（功率最大）；h = ±L时为 0（谐波抑制）

• 空间波数分量k_x, k_y：入射波在x/y方向的波数分量，与波束指向θ₀, φ₀直接相关

   k_x = k₀sin θcos φ，k_y = k₀sin θsin φ，k₀ = 2π/λ₀ (λ₀为中心波长)

• 超原子间距d：相邻超原子在x/y方向的距离，需满足奈奎斯特采样条件以避免栅瓣，通常取d = λ₀/2（避免相邻超原子的电磁耦合与栅瓣干扰）

2. 优化目标与哈密顿量

空时编码超表面的典型优化目标是“增强主波束功率+抑制旁瓣功率+抑制非目标谐波”，由于量子启发算法（如 SB）、CIM 硬件均以“最小化能量函数（哈密顿量）”为目标，需将“功率最大化”转化为“哈密顿量最小化”，具体推导如下：

目标函数的物理意义拆解:​

主波束增强：最大化目标方向((θ₀, φ₀))的主波束功率P_h(θ₀, φ₀)，确保信号在目标方向的辐射强度；

旁瓣抑制：最小化旁瓣区域的平均功率Pside（旁瓣会导致能量浪费、通信干扰），旁瓣区域定义为θ ∉ θ₀ − Δ, θ₀ + Δ（Δ为旁瓣区域阈值，通常取 0.1rad）；

谐波控制：抑制非目标谐波（如h = ±1, ±2）的功率，避免频率资源浪费。

哈密顿量构建将上述目标整合为加权求和形式，再取负转化为 “最小化问题”，哈密顿量H定义为：

H = −P_总 = −(w_main ⋅ P_h(θ₀, φ₀) + w_side ⋅ P_side)      (3)

• w_main > 0：主波束增强权重，取值需大于 0 以强化主目标（实验中取 10.0，确保主波束功率优先）；

• w_side < 0 ：旁瓣抑制权重，负值表示对旁瓣功率的 “惩罚”（实验中取 − 1.0，避免过度惩罚导致主瓣功率下降）；

• P_side：旁瓣区域平均功率，通过离散角度积分近似计算 —— 将旁瓣区域θ ∈ [−π/2, π/2 ]/ [θ₀ − Δ, θ₀ + Δ] 离散为K个角度点（实验中K = 20）P_side =

二、1 比特编码 QUBO 模型推导​

1. 反射系数与自旋变量的物理映射​

1 比特编码下，超原子的反射系数（纯相位）直接由二进制自旋变量表示，即：

Γ_p = s_p  (s_p ∈ {−1, 1})        (4)

物理意义：s_p = 1对应一种相位状态（如 0），s_p = −1对应另一种相位状态（如π），通过自旋变量的二进制特性描述超原子相位的离散性，同时满足|Γ_p| = 1的纯相位约束。

2. 哈密顿量简化与 QUBO 系数

将式 (4) 代入式 (3) ，哈密顿量简化为：

其中J_pq为自旋耦合系数，整合主波束、旁瓣与谐波的权重信息：

J_pq = w_main ⋅ A_pq(θ₀, φ₀) + w_side ⋅ A_pq^side           (6)

•A_pq(θ₀, φ₀)：目标方向(θ₀, φ₀)的时空耦合系数；

•A_pq^side：旁瓣区域的平均时空耦合系数A_pq^side =

由于 QUBO 模型采用二进制变量x_p ∈ {0, 1}，需通过标准映射s_p = 2x_p − 1转化，最终 QUBO 系数结果为：

线性项（对角项）： a_p = ；

二次项（非对角项）：b_pq = −8J_pq  (p < q)；

QUBO 矩阵形式：Q_1bit ∈ ℝ^N × N （N为自旋变量总数）

三、2 比特编码 QUBO 模型推导

1. 反射系数与自旋变量的物理映射

2 比特编码中，单个超原子的反射系数由 2 个自旋变量(s_p1, s_p2 ∈ {−1, 1})线性组合表示：

Γp = c1s_p1 + c2s_p2    (7)

• 其中c₁, c₂为编码系数，需满足纯相位约束(|Γ_p| = 1)与相位均匀分布（4 种相位间隔π/2），推导过程如下：
由于s_p1, s_p2 ∈ {−1, 1}，Γ_p的所有可能取值为：

Γ_p ∈ {c₁ + c₂, c₁ − c₂, −c₁ + c₂, −c₁ − c₂}    (8)

对任意组合（如c1 + c2），展开模的平方：

   |c1 + c2|² = (c1 + c2)(c1^* + c2^*) = |c1|² + |c2|² + c1c2^* + c1^*c2 = 1     (9)

对c1 − c2展开模的平方：

|c1 − c2|² = (c1 − c2)(c1^* − c2^*) = |c1|² + |c2|² − (c1c2^* + c1^*c2) = 1      (10)

两式联立，得到 2 个关键约束（c^*表示复数共轭）：
归一化条件：|c1|² + |c2|² = 1（系数模的平方和为 1）；​

正交条件：**c1c2^* + c1^*c2 = 0（系数交叉项实部为 0）。

为简化计算且符合正交条件，设c1为实数、c2为纯虚数：

令c1 = a（a为实数），c2 = b ⋅ j（b为实数，j = ）

代入|c1|² + |c2|² = 1，得 a² + b² = 1。

为实现 “2 比特 4 种相位均匀分布（间隔π/2）”，取对称值a = b = ，最终：

• （实数，满足归一化）；
• （纯虚数，满足正交与归一化）。

2. 哈密顿量简化与QUBO 系数

代入式 (3) 后，哈密顿量含“自旋-自旋跨比特耦合项”：

其中 J_pq^a, b = c_ac_b^*J_pq（c_b^*为c_b的共轭,a, b = 1, 2对应两个自旋比特），J_pq同 1 比特定义。

转化为 QUBO 模型:

线性项（对角项）：a_{pa = ;}

二次项（非对角项）：b_pa, qb = −8J_pq^a, b  (pa < qb);

(索引规则pa < qb表示先比较超原子索引p < q，若p = q则比较比特索引a < b)

QUBO 矩阵形式：Q_2bit ∈ ℝ^2N × 2N （N为超原子总数，2N为自旋变量总数）。

四、旁瓣抑制的整合逻辑

旁瓣抑制通过 “修正时空耦合系数A_pq”实现，核心是将旁瓣区域的功率贡献整合到自旋耦合系数J_pq中，具体步骤如下：

•旁瓣离散角度集：

Θ_side = {θ_k ∣ θ_k ∉ θ₀ − Δ, θ₀ + Δ, k = 1, 2, ..., K}：（实验中K = 20，θ_k ∈ −π/2, π/2）；

• A_pq(θ_k, φ₀)为超原子p, q在旁瓣角度θ_k下的时空耦合系数；

• 更新J_pq ， 1 比特编码中J_pq = Re(A_pq^total) ，2比特编码中J_pq^a, b = c_ac_b^* ⋅ Re(A_pq^total)，（取实部，因哈密顿量需为实数）

五、建模步骤总结

六、CIM真机(KaiWU-CPQC-550)求解性能分析

注：由于CIM真机限制(数据比特不超过550bit)，仅进行M, N, L,n-bit=8*8*4*2的情况求解(原论文为8*8*8*2)

1.参数设置及程序执行结果

2.真机求解最优相位配置

3.结果解码及可视化

1.相位解码过程

将 CIM 输出的二进制变量x_pa转换为超原子的离散相位，步骤如下：

二进制→自旋变量：通过s_pa = 2x_pa − 1将x_pa ∈ {0, 1}转换为s_pa ∈ {−1, 1}；

自旋变量→反射系数：通过Γ_p = c₁s_p1 + c₂s_p2计算反射系数；

反射系数→相位：提取Γ_p的相位信息，得到超原子p在对应时间槽的相位值。

2.核心性能指标计算过程

3.性能指标可视化​

通过极坐标 / 直角坐标方向图展示远场散射特性：​

极坐标图：直观呈现主瓣指向（−14.9^∘）与旁瓣分布，主瓣功率归一化为 1.0，旁瓣最大值为 0.0846：直角坐标图：标注目标角度（−14.5^∘）、主瓣角度（−14.9 ^∘）、3dB 波束宽度（13.27^∘）及旁瓣抑制比（−10.72 dB），量化性能指标。

4.性能分析

1.与论文原始算法的性能对比

2.时间性能对比

3.维度可扩展性

a.本次实验维度：8×8×4×2 = 512 个二进制变量。

b.论文最大实验维度：15×15×8×2 = 3600 变量。

c.根据论文拟合的复杂度模型 T～N1.82，CIM 真机 3600 变量单次采样理论耗时 < 5 ms，远快于 SB 的秒级耗时。

5.总结

QUBO+CIM 通过物理模型与 QUBO 矩阵的紧耦合，实现主瓣、旁瓣、谐波的协同优化，精度全面超越传统算法。QUBO 模型的计算复杂度主要集中在矩阵构造(O(N²)，N 为变量数)，而 CIM 求解时间几乎不随维度增加(硬件并行特性)，因此在高维时空编码超表面中优势更明显，其依托CIM 硬件并行性，将单次求解时间压缩至毫秒级，突破传统算法的 “维度灾难”。

QUBO+CIM 的预处理(一次性成本)+ 实时采样(毫秒级) 模式，完美适配5G/6G 大规模时空编码超表面的动态优化需求，是传统算法的颠覆性升级。

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作者：张芝涛
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