📖解释磁场现象前面我们说过安培假设物质磁场起源于其内部运动电荷产生的电流，但我们不禁要问，如果仅仅由内部电流产生磁场的机制，是否足以维持一个磁铁永久的磁性？ 之所以提出这个问题是因为，自然界中存在一些永磁体，这些物质一旦被外磁场磁化后，即使脱离开此外磁场，也不会失去磁性；但是如果仅靠内部电流元的有序排列，显然不可能维持永久的磁性，这是因为假如离开外磁场，内部此前在外磁场作用下有序排列的电流元，极有可能在温度场的扰动下变得无序，从而使得磁铁失去磁性。 事实上，永磁体之所以能长久的保持磁性，是源于内部大量原子自身所带的属性造成的。这种原子本身自带的的禀性被称为自旋；我们可以不太准确的把这种自旋“理解为”是微观粒子像地球一样围绕地轴作自转。之所以不准确，是因为自旋属于微观属性，它实际上并不是微观粒子的自转，事实上我们无法在宏观世界中找到它的完美对应。原子的自旋能使自身产生一个固有磁矩，就一个小磁铁。 在外部磁场的干预下，物质内部的原子自旋磁性方向将会趋向于与外部磁场方向相同，于是众多的原子结合起来，在宏观上的表现就是具有磁性；而当外部磁场撤掉，这些原子的磁矩的方向并不会马上改变，而是会保持原来的方向，这样，宏观的磁性也就保持下来了。 但我们还要问，这些微观粒子它们怎么知道自己要向哪个方向旋转？ 此时我们就可以应用伊辛模型来解决问题了。伊辛模型告诉我们，在高温环境下，原子自旋的指向由于热运动的干扰是随意的，随着系统逐步冷却并接近相变临界点，原子间的磁力相互作用使得某个原子周围的原子倾向于与它以相同的方向旋转、又以相同的机制影响其周围的原子……这样逐渐聚集起许多有序的原子群“岛屿”，并越长越大，在这些岛屿内部，所有自旋磁矩都指向同一方向。这就是宏观物体磁性的来源。可以用伊辛模型中的“临界指数”来以描述这一过程，例如最大的岛屿的是怎样生长的。
图1:当 Ising 模型处于临界温度时，它包含各种尺寸的对齐内部自旋方向的“岛”。（图片来源：网络）
📖退火算法与蒙特卡洛算法伊辛模型还可以被用于计算机领域而成为某些著名算法的基础，比如著名的退火算法，它就是蒙特卡洛方法与二维伊辛模型结合的产物。 退火算法，得名源于冶金行业的一个名词“退火”；在冶金行业中，为了减少材料（如钢材等）缺陷、增大材料颗粒粒径，往往将材料先加热然后以一定速率慢慢冷却。未经退火处理时，钢材中的晶体颗粒会停留材料的局部晶体能量最低的位置，在加热后，这些颗粒就可能获得足够的能量去逃离原来的局部能量最小的位置，并在缓慢的冷却过程中，重新找到更大范围内能量最低的位置“安顿”下来，这样，整体材料的能量就有可能进一步降低，也就是调整了钢材内部的晶体组织，消除组织缺陷。 那算法上的“退火”又是怎么一回事呢？要理解这个概念，首先先认识一下蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法得名于著名的“赌城”蒙特卡洛，这一计算方法的本质可以比喻成随机的“掷骰子”——从整体中去随机抽取出一些部分作为样本，接着利用这些大小有限的样本内容进行一些统计学量的计算，最后利用此结果估计出整体的统计学量，依托着计算机强大的运行能力将数值计算推向了实用化。如下图所示：
图2:蒙特卡洛计算方法 我们把从整体部分抽取出样本的操作称为抽样。抽样一共有两种方法，即简单抽样法和重要性抽样法。 这两种方法都是根据其抽样的具体操作而命名的：其中，简单抽样正如其名一样，指的是从整体中均匀随机抽样，即随机的从整体中抽取样本，比如在某个特定十字路口附近采访路人。 而重要性抽样法则是根据对象的重要性程度来决定抽取多少；比如对一个文科班来说，可能女生的数量要远远大于男生——假设女生与男生数量比为5:1。这时候假设我们要调查某一款游戏的受欢迎程度而在该班中分发调查问卷，如果我们仍然选择简单抽样法，那很显然这样做所得到的结果是很不准确的，因为明显女生数要远大于男生数，这样我们所可能得到的结果大抵是此游戏不受欢迎。 这时，重要性抽样法登场了；这种方法是这样的，首先将整体分类，接着根据这些类的大小在整体中所占的比重来决定要从中抽取多大的内容进入最终的样本。显然，对上面所举的例子我们应当用重要性抽样法进行抽样。 一个运用蒙特卡洛法的例子就是用撒点的方法求得某不规则二维平面的面积。现在假设给定一个不规则二维平面，要求求出其面积S0，我们可以这么考虑：首先我们在此不规则二维平面周围画上一个规则的、我们可以轻易求出其面积S的二维平面，比如说一个正方形；接着我们向这个正方形撒点（硬币、骰子都可以，甚至花生也行，但一定要保证它们大小相近），假设一共撒了N个点；观察有几个点落在此不规则平面内，记为N0。 则S0≈(N0/N)S，如下图所示：
图3：撒点法
利用同样的方法，我们甚至可以求出相当精确的π值。 那么，蒙特卡洛方法如何与我们的二维伊辛模型进行结合呢？根据此前我们对伊辛模型的介绍我们知道，伊辛模型在一、二、三维都具有相应的图像，分别对应着链、正方形和正方体。其中，一维伊辛模型具有严格解；二维伊辛模型的严格解很难被理解；三维伊辛模型的严格解则仍是未解之谜。 随着计算机技术的发展，科学家将难以理解的二维伊辛模型的严格解交给计算机处理，将其与蒙特卡洛方法结合之后就是模拟退火算法。模拟退火算法的计算步骤可以归纳如下：首先我们在体系中随机的选定一个原子，然后看它是否翻转，假如它翻转我们就去计算翻转前后体系的能量差，然后我们会有一个评价函数（这个评价函数由具体研究的体系而决定，而且它往往是进行这种算法的核心所在），根据这个评价函数我们将可以判断最初随机选择的那个原子是否可以翻转：如果可以，继续选定一个随机原子、重复以上步骤；如果不行，则回到第一步重新选定一个随机原子。 这个算法与伊辛模型的联系之处在于，它借用了二维伊辛模型网格状的结构进行问题的考虑，并且其中“原子的翻转”就对应着二维伊辛模型中一格点原子的两种自旋状态；另外，我们知道，二维伊辛模型只考虑近邻的作用，所以此时体系能量的改变会与此随机原子周围四个原子的自旋状态有关（它们的自旋状态联系着它们所具有的能量）。事实上，体系能量的改变往往是最近邻四个原子能量改变值总和的四倍。 📖社会学问题应用你大概不会想到，物理学领域的伊辛模型也能用于社会学问题的研究中。我们举一个例子。 比如欧美地区现有一个地区要进行选票，每个选民可以选择支持或反对，这就对应着伊辛模型中的两种可能的自旋状态；而这些选民的态度会受到环境的影响而发生变化，比如某个选民本来决定投支持票，但是他于当天看到某个新闻或者听说其他选民的观点，可能临时决定投反对票，这就对应着伊辛模型中温度对系统的影响； 最后，选民之间的关系就对应于伊辛模型中格点之间自旋的相互作用，而对每一个选民来说，更可能影响到他最终所投选票的更可能是他的邻居而不会是住的离他很远的人，这样就完全与伊辛模型中采取的只计入最近邻相互作用相对应。这样，就能利用伊辛模型对选票及选民的趋势问题进行计算和预测了。 这组对应关系如下图所示。
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