1.1 量子计算原理

量子比特概念介绍

量子计算是一种基于量子力学基本原理的信息处理范式，它利用量子叠加、量子纠缠和量子干涉等现象，解决经典计算机无法高效处理的问题。

在经典计算机中，信息的基本单元是比特（bit），只以0和1两种可能的形式存储信息。而在量子计算中，基本单元是量子比特（Qubit），它可以存储0和1的任何叠加状态（比如64%可能是1，36%可能是0），使得量子计算在处理信息时拥有巨大的并行计算能力。

经典比特
（1）表示为二进制状态（0或1），如开关的“开/关”；

（2）物理载体通常有晶体管的高低电压，磁盘的南北极磁化方向等；

（3）N个经典比特只能存储1个N位状态。

量子比特
（1）表示方式为叠加态：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，其中$\alpha$，$\beta$为复数且满足$|\alpha |²+|\beta |²=1$：

• $|0⟩$和$|1⟩$是基态（类比经典比特的0和1）；
• 测量时，$|\alpha |²$表示得到$0$的概率，$|\beta |²$ 表示得到1的概率。

直观的类比可形容为，经典比特是一枚静止的硬币（正面或反面），而量子比特是一枚旋转的硬币，在停下前同时存在正反两面的“叠加状态”。

（2）常见的物理载体有：

• 超导电路：电流方向的叠加；
• 离子阱：原子能级的叠加；
• 光子：偏振方向的叠加（水平/垂直）。

也即对应为目前市面上常见的三种量子计算技术：超导、离子阱、光量子，在后文中将详细讲述三种量子计算技术的区别。

量子态特性

（1）量子叠加

量子态可以是两个或多个不相容的经典态的叠加，比如0和1的叠加，这使得量子计算机可以指数级的并行处理加速。

• 数学描述
  • 单量子比特：$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$；
  • $n$个量子比特：可同时表示$2^n$个状态的叠加（如3个量子比特可表示为$|\psi ⟩=|000⟩+|001⟩+...+|111⟩$）。

（2）量子纠缠

多个量子比特可以通过纠缠形成超距关联状态，并且该关联状态的存在与否与量子比特间的物理距离无关。两个纠缠的量子比特无法单独描述各自的量子态，而是必须以一个整体来定义量子态，使之可用于实现高效的量子信息传递和计算。

• 多个量子比特必须以一个整体状态不可分离，例如贝尔态 $|{\varphi }^{+}⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$；
• 测量第一个比特为0，第二个比特必然为0（非经典关联）。

（3）量子干涉

量子态可通过调整概率幅的相位（如正负号）实现相长和相消干涉效应使得目标状态（即问题的解）的概率幅得到增强（相长干涉），而非目标状态的概率幅则被抑制（相消干涉），通过量子干涉可以逐渐将系统波函数的大部分概率集中到问题的唯一解上。

（4）量子逻辑门

量子逻辑门通过对量子比特（Qubit）进行操作来实现指定的量子态转换。比如Hadamard门可以将0或1的非叠加态转换成等概率的0和1的叠加态，而CNOT门根据控制比特的状态来决定是否翻转目标比特（从0翻转到1或从1翻转到0）。通过量子逻辑门的组合使用，可以实现复杂的量子态操控和逻辑计算。

• 单量子比特门（Hadamard门），其作用是将基态转换为叠加态$H|0⟩=(|0⟩+|1⟩)/\surd 2$；其矩阵表示为：

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

• 两量子比特门（CNOT门），当控制比特为$1$时，翻转目标比特可表示为$|00⟩\to |00⟩,|10⟩\to |11⟩$；矩阵表示为：

$$\text{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$