论文精读：基于光量子计算机的电网停电后分区模型及量子比特扩容方法

1. 背景介绍

当前，随着电力系统结构日益复杂，以及极端天气、设备故障等因素引发的大规模停电事故频发，如何实现电力系统的快速高效恢复，已成为学术界与工程实践共同关注的核心问题。传统的电力系统恢复策略主要包括串行恢复与并行恢复两类。其中，并行恢复通过将电网划分为若干子区域并行开展恢复操作，可显著缩短整体恢复时间，因而日益受到重视。而在并行策略中，如何高效、精准地划分恢复分区，成为决定恢复成效的关键所在。

电力系统中的恢复分区问题，本质上是一个最小割问题，需要将复杂电网拓扑划分为若干联系紧密的子区域，各区域内部应保持良好的连通性，而区域之间的耦合尽可能稀疏，从而最小化因分区所需切除的线路权重。同时，划分还需满足诸如区域内发电与负荷平衡、黑启动电源配置合理性等关键运行约束。然而，由于电力网络结构复杂，设备运行环境多样，该问题具有高度复杂性，属于典型的NP-hard问题。伴随新型电力系统的演进，现有分区方法在实时与精度方面正面临严峻挑战：

一方面，模型复杂难以直接求解。传统方法通常将其建模为混合整数规划等高维优化问题，电网规模扩大后，变量与约束数量急剧增长，导致求解时间呈指数级上升，难以满足大停电情境下对恢复时效的严格要求；
另一方面，算法结果依赖人工干预。现有多数方法难以保证找到全局最优解，或在多解情况下需要人工甄选，增加了应急响应的不确定性和潜在延迟；
最后，经典算法面临计算瓶颈，难以灵活集成多种运行约束条件。如区域发电-负荷平衡、最小节点数量限制以及黑启动资源配置等，进一步限制了其实用性与推广性。

量子计算技术的快速发展为解决这一传统难题提供了全新思路，目前量子计算在电力系统问题中的研究和应用主要集中在机组组合、最优潮流、虚拟电厂优化等，针对电网恢复分区这一特定场景的研究仍属空白，更鲜有研究关注当前量子计算机比特数受限的实际约束。

基于此，本论文的创新点主要集中在以下方面：一是构建了基于谱聚类思想且适合量子计算机求解的电网分区QUBO模型；二是提出了针对QUBO模型的子问题抽取量子比特扩容方法；三是依托国产光量子计算机完成了模型验证。

表：电力系统分区问题面临的挑战与量子计算潜力

挑战类型	传统方法的局限	量子计算的优势	仍需解决的问题
求解效率	计算时间随规模指数增长	量子并行性提供指数加速	当前量子比特数有限
求解质量	易陷入局部最优，需人工干预	量子退火可全局寻优	噪声和误差影响结果精度
约束处理	复杂约束增加求解难度	QUBO模型可统一处理约束	约束转化增加变量维度
连通性保证	通常自然满足	可能出现不连通分区	需设计后处理算法

2. 基于谱聚类的分区QUBO模型构建

谱聚类作为一种基于图论的数据聚类方法，其核心是利用图的拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix)特征结构来识别紧密连接的子区域，非常契合电网分区的需求。

2.1 目标函数

首先将电网拓扑抽象为一个加权无向图 $G (V, E)$ ，其中 $V = v_{1}, v_{2}, . . ., v_{N}$ 表示电网中的 $N$ 个节点集合， $E = {(v_{i}, v_{j}) ∣ v_{i} \in V, v_{j} \in V}$ 表示线路集合。为量化节点间的连接紧密程度，定义权重系数：

w_{i j} = w_{j i} = {\begin{cases} 1 / Z_{i j} & i \neq j \\ 0 & i = j \end{cases}

其中 $Z_{i j}$ 表示节点 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 间的阻抗，基于此定义节点 $v_{i}$ 的度为 $d_{i} = \sum_{j = 1}^{N} w_{i j}$ ，反映节点在网络中的重要性。

因此，分区目标被转化为一个最小割问题：通过切除少量线路，使剩余网络形成 $K$ 个子图，且满足子图内权重和最大（连接紧密）、子图间权重和最小（切除线路权重和最小）。

基于谱聚类理论，该问题可通过拉普拉斯矩阵来表述。首先构建：

邻接矩阵 $W$ ：对称矩阵，元素为 $w_{i j}$

W = [\begin{matrix} 0 & w_{12} & \dots & w_{1 N} \\ w_{21} & 0 & \dots & w_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ w_{N 1} & w_{N 2} & \dots & 0 \end{matrix}]

度矩阵 $D$ ：对角矩阵，对角元素为 $d_{i}$

D = [\begin{matrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & d_{N} \end{matrix}]

拉普拉斯矩阵： $L = D - W$

进而，目标函数表述为：

min_{x_{k}} \sum_{k = 1}^{K} x_{k}^{T} L x_{k}

其中 $x_{k} = [x_{1, k}, . . ., x_{N, k}]^{T}$ 为二元指示向量， $x_{i, k} = 1$ 表示节点 $v_{i}$ 属于第 $k$ 个子区域，该目标函数本质上寻求对拉普拉斯矩阵进行谱分解，找出对应最小特征值的特征向量，从而实现最优分割。

2.2 约束条件

为确保分区结果在实际电力系统中的可行性，建立如下约束体系：

（1）唯一分区约束：每个节点只能属于一个子区域

\sum_{k = 1}^{K} x_{i, k} = 1, \forall i \in {1, 2, \dots, N}

（2）区域规模约束：防止出现过于小的解

\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} \geq N_{k}, \forall k \in {1, 2, \dots, K}

其中， $N_{k}$ 为第 $k$ 个子区域对应的最小节点数限制；

（3）功率平衡约束：子区域内发电与负荷基本平衡

- P_{k}^{m a x} \leq \sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} (P_{i} - D_{i}) \leq P_{k}^{m a x} \forall k \in {1, 2, \dots, K}

其中 $P_{i}$ 和 $D_{i}$ 分别为节点 $v_{i}$ 处的发电有功功率和需求有功功率， $P_{k}^{m a x}$ 为使得第 $k$ 个子区域频率不越限的不平衡功率上限；

（4）黑启动电源约束：每个子区域至少有一个黑启动电源

\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} G_{i} \geq 1 \forall k \in {1, 2, \dots, K}

其中， $G_{i} = 1$ 表示 $v_{i}$ 处有黑启动电源，否则 $G_{i} = 0$ 。

另外，该约束群也可根据实际需求灵活添加其他运行约束，如电压稳定性、线路容量限制等，只需在量子比特资源允许范围内。

2.3 QUBO模型转化

由于CIM只能求解无约束优化问题，本文采用惩罚函数法将各类约束条件融入目标函数，对2.2中提到的各项约束条件作以下变形：

（1）对于等式约束：用平方罚函数将约束转化为目标函数增广项， $λ_{i}^{o n l y}$ 为对应的惩罚系数：

H_{o n l y} = \sum_{i = 1}^{N} λ_{i}^{o n l y} (\sum_{k = 1}^{K} x_{i, k} - 1)^{2}

（2）对于不等式约束（区域规模约束），引入非负松弛变量 $s_{k}^{l e a s t} \in N$ 将其转化为等式：

\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{k} - s_{k}^{l e a s t} - N_{k} = 0

然后对松弛变量进行二进制展开：

s_{k} = \sum_{b = B_{L}}^{B_{U}} 2^{b} x_{k, b}^{l e a s t}

其中 $x_{b, k}^{l e a s t}$ 为新增的二元变量， $[B_{L}, B_{U}]$ 为展开 $s_{k}^{l e a s t}$ 对应的最高/最低比特位，决定展开范围和精度，最终不等式约束转化为：

H_{l e a s t} = \sum_{k = 1}^{K} λ_{k}^{l e a s t} (\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} - \sum_{b = B_{L}}^{B_{U}} 2^{b} x_{b, k}^{l e a s t} - N_{k})^{2}

类似地处理剩余两个不等式约束如下，引入松弛变量 ${\bar{s}}_{k}^{freq} \in R^{*}$ ， ${\underset{―}{s}}_{k}^{freq} \in R^{*}$ ， $s_{k}^{back} \in N$ ， $λ_{k}^{f r e q}$ ， $λ_{k}^{b a c k}$ 为对应的惩罚系数：

\begin{aligned} {\overset{―}{H}}_{freq} & = \sum_{k = 1}^{K} λ_{k}^{freq} {(\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} (P_{i} - D_{i}) + {\bar{s}}_{k}^{freq} - P_{k}^{max})}^{2} \\ {\underset{―}{H}}_{freq} & = \sum_{k = 1}^{K} λ_{k}^{freq} {(\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} (P_{i} - D_{i}) - {\underset{―}{s}}_{k}^{freq} + P_{k}^{max})}^{2} \\ H_{back} & = \sum_{k = 1}^{K} λ_{k}^{back} {(\sum_{i = 1}^{N} x_{i, k} - s_{k}^{back} - 1)}^{2} \end{aligned}

最终得到完整的QUBO模型：

min \sum_{k = 1}^{K} x_{k}^{T} L x_{k} + H_{o n l y} + H_{l e a s t} + {\bar{H}}_{freq} + {\underset{―}{H}}_{freq} + H_{b l a c k}

这一转化过程会引入大量辅助变量，特别是松弛变量的二进制展开会显著增加问题规模。例如，一个需要10位二进制表示的松弛变量就会引入10个新变量，这在量子比特资源受限的情况下需要权衡考虑精度与规模。

3. 量子比特扩容方法与求解框架

面对量子计算机比特数受限的硬件约束，本文提出了量子比特扩容方法，基于"子问题抽取"思想，将大规模问题分解为多个量子计算机可处理的子问题迭代求解，这一方法不仅适用于电网分区问题，也为其他领域的量子优化提供了通用框架。

3.1 subQUBO核心思想

量子比特资源有限是当前量子优化在大规模组合问题中应用的主要瓶颈。为此，subQUBO方法（sub-Quantum Unconstrained Binary Optimization）被提出，用于在物理量子比特数受限的条件下，有效扩展可处理变量的规模。该方法基于“变量不确定性导向”思想，通过识别最具不确定性的子变量集，利用量子计算聚焦求解关键变量，从而实现对更大问题的等效优化。其基本流程如下：

首先，利用经典启发式算法生成一个包含 $N_{I}$ 个可行解的初始解池。随后，从中随机选取 $N_{S}$ （满足 $2 \leq N_{S} \leq N_{I}$ ）个解，对第 $i$ 个变量进行统计，计算其在被选中解中取值为 1 的频率 $F_{i}$ ，并据此计算变量不确定性指标 $ξ_{i} = | F_{i} - N_{S} / 2 |$ 。该指标刻画了变量在多个可行解中的“一致性”程度： $ξ_{i}$ 越小，说明该变量在多个解中取值分布越接近随机，其求解不确定性越高，因而越值得被纳入量子计算阶段。随后，选取 $ξ_{i}$ 最小的前 $N_{M}$ 个变量构成子问题，将该子问题映射为QUBO形式并交由量子计算机求解。量子计算所得到的解用于更新当前最优解，并回填至解池中。上述步骤作为一个迭代过程重复执行 $N_{E}$ 次，最终输出在全部过程中发现的最优解。

该方法的核心假设在于： 对于某些变量，经典算法在多次运行中表现一致，这些变量较易求解；而对于那些值在多个可行解中反复变化的变量，其结构复杂、优化难度较高，正是量子计算所擅长处理的“关键变量”。因此，subQUBO方法能够以 $N_{M}$ 个物理量子比特对包含 $N_{0}$ 个布尔变量的问题进行等效求解，其量子比特扩容能力可通过以下指标加以衡量：

I_{q u b i t} = \frac{N_{0} - N_{M}}{N_{0}} \times 100 %

3.2 电力系统适配与增强

直接将subQUBO应用于电网分区会遇到连通性破坏问题（如图2(a)所示），图中黄色和蓝色部分分别为两个不同子区域，红色虚线为应该被切除的线路。可以看出，最终分组结果把节点2、4分为一个区域，节点1、3、5分为另一区域，在图中所示的拓扑下，无论切除哪些线路，节点2都不能绕过节点3或节点5与节点4处于同一区域中，即节点2、3的分区结果不满足子区域连通性要求。

基于此，本文的解决思路为三个方面：

（1）连通性检测：通过构建各子区域的拉普拉斯矩阵并计算其最小非零特征值（即代数连通度），对每个子区域的连通性进行判断，从而识别出不连通的异常区域；

（2）孤立节点处理：针对不连通区域，进入孤立节点处理阶段。此阶段定位孤立节点，分析其历史连接关系，恢复若干关键边，并将孤立节点优先并入与之连接紧密、结构稳定的相邻子区域，以提升整体连通性；

（3）约束校验与调整：对边界节点和新生成的区域进行运行约束的核查，包括区域内节点数下限、发电-负荷平衡、黑启动电源配置等约束，并对不满足约束的节点执行微调策略，从而保证整个分区方案的可行性和工程可实施性。

以图2(b)所示的初始分区为例，算法首先判断各子区域的连通性，发现黄色区域保持连通，而蓝色区域存在断裂。进一步分析发现蓝色区域中节点4为孤立节点，通过恢复其原始连接边 $w_{45}$ 、 $w_{34}$ 与 $w_{14}$ ，将其并入邻近的黄色区域。合并后，蓝色区域仅剩节点2，无法满足“每个区域至少包含两个节点”的结构约束。

为此，算法在边界节点中重新选择连接对象，以切除线路总权重最小为原则，将节点2与邻近节点构成新的蓝色子区域，并重新验证其是否满足所有运行约束。最终得到拓扑上连通、结构上可行的恢复分区结果。

3.3 完整求解流程

结合上述内容，基于子问题抽取的电力系统快速恢复分区模型求解方法流程如下：

步骤编号	操作描述
1	输入电网拓扑及运行数据，构建对应的QUBO优化模型
2	设置算法参数，包括初始解池大小 $N_{I}$ ，迭代次数 $N_{E}$ ，子问题变量数 $N_{M}$
3	利用经典算法生成初始解池，并从中选出当前最优解
4	统计解池中各变量在不同解中取值的一致性，计算不确定性指标 $ξ_{i}$
5	选取 $ξ_{i}$ 最小的前 $N_{M}$ 个变量构建子问题，交由量子计算机求解
6	用子问题最优解更新解池，重复步骤4–5共执行 $N_{E}$ 次迭代
7	对量子输出结果进行拓扑分析，判断子区域连通性与运行约束满足情况
8	针对不满足条件的边界节点执行微调，如节点合并、边恢复等操作
9	输出满足工程可行性的最终电网恢复分区方案

4. 实验验证与结果分析

本文选取IEEE 39节点系统与IEEE 118节点系统作为标准测试平台，分别用于模型性能评估与扩展性分析。所构建的QUBO模型在求解过程中依托相干光量子计算机（Coherent Ising Machine, CIM）完成建模与优化，量子求解涉及变量布尔化、惩罚参数设置以及辅助变量构造等关键步骤。

4.1 IEEE 39节点系统验证

该实验主要用于验证所提QUBO分区模型在中小规模系统中的基础性能与可行性。实验设置分区数 $K = 2$ ，在建模过程中考虑了除无功平衡外的所有主要运行约束，最终形成包含87个布尔变量的QUBO问题。为保证约束条件有效嵌入，额外引入1个辅助比特，因此实际求解所使用的量子比特总数为88。

为全面评估模型效果，实验选取了涵盖传统启发式、经典优化算法及量子近似方法等三大类共六种对比方法：

（1）传统谱聚类分区算法， 作为基线参考，包含无监督谱聚类与半监督谱聚类两种方式；

（2）基于QUBO模型的优化方法，包括三种：

模拟退火算法（SA），初始退火温度设为 $10^{5}$ ，温度递减系数为 0.999，终止温度为 0.001，作为经典近似算法的代表；
Gurobi求解器，用于精确求解QUBO模型，收敛容差设置为0.001，代表传统数学优化在小规模问题上的性能上限；
相干光量子计算机（CIM），使用100比特硬件设备求解所构建的QUBO模型，考察其在真实物理量子平台上的可解性与效率；

（3）基于混合整数线性规划（MILP）模型的方法，将第2.1节与第2.2节中提出的目标函数与约束条件统一转化为MILP形式，并借助Gurobi进行精确求解，收敛容差同样设为0.001，以检验经典方法在明确结构建模条件下的最优分区能力。

表：IEEE 39节点系统不同方法性能对比

方法	求解时间(ms)	模块度	备注
1	172.00	0.103	无法满足约束
2	504.00	0.444	需人工干预
3	623,457	0.444	耗时过长
4	463,251	0.444	商业求解器
5	3.89	0.444	本文方法
6	25.80	0.444	商业求解器

实验结果表明，所使用的相干光量子计算机在求解效率方面相较经典方法展现出明显优势。在保证求解质量的前提下，其求解时间相较当前最快的经典方法（Gurobi）缩短约6.7倍。尽管传统谱聚类算法在计算速度上同样具备优势，但由于其不考虑电力系统运行约束，所得到的分区结果在工程实践中不可用。相比之下，具备约束处理能力的经典优化方法（如Gurobi、模拟退火）则受限于高维空间的计算复杂性，求解效率显著下降。在本实验场景中，量子计算方法在求解速度与解的可行性之间取得了良好平衡。

图3展示了最终的分区结果。可以看出系统被划分为两个具有良好连通性的子区域，且划分结果满足发电-负荷平衡与黑启动配置等核心运行约束，验证了所提出方法在小规模系统中的有效性。

4.2 IEEE 118节点系统验证

为进一步评估所提量子比特扩容方法在大规模系统中的适用性，文章在IEEE 118节点系统上开展了扩展性实验。该系统构建完整QUBO模型后共涉及376个布尔变量，超出当前光量子硬件可直接处理的比特规模。为此，采用subQUBO方法对变量空间进行压缩处理，设置初始解池规模 $N_{I} = 20$ ，迭代次数 $N_{E} = 5$ ，在不同子问题规模 $N_{M} \in [100, 180]$ 下评估扩容效果与解的质量。

实验结果如图4所示。随着子问题变量数 $N_{M}$ 的增加，所得到的分区结构逐步接近参考最优解（节点分布为46、42、30），并且解的波动性显著降低。当 $N_{M} = 180$ 时，系统扩容率达52.1%，即在仅使用180个量子比特的条件下，成功完成了376变量问题的近似最优求解。三种子问题求解方法对比显示：

表：子问题求解方法性能对比（ $N_{M} = 180$ ）

方法	解池生成时间(s)	子问题求解时间(s)	调整时间(s)
Gurobi	-	-	-	超时
光量子	121.35	0.0148	1.41	最优
模拟退火	231.80	2.89	3.02	次优

光量子方法在子问题求解速度上再次展现优势，且由于求解质量高，后续连通性调整耗时也最少。而Gurobi因问题非凸性难以在合理时间内得到可行解。

图5进一步展示了在 $N_{M} = 100$ 条件下，方法所获得的最优与最差分区结构对比。尽管最差结果仍满足基本运行约束，但目标函数值相较参考最优解差异较大，反映出子问题构造过程中的随机性波动。而最佳分区结果仅有4个节点与参考解不同，验证了subQUBO方法在量子资源受限条件下依然具备较强的近似最优能力。

4.3 结论与展望

通过上述实验研究，可得出以下结论：

（1）在量子比特资源允许的直接求解规模内，相干光量子计算机展现出显著的计算优势，其求解速度相比经典优化方法提升达1–2个数量级，且在模块度等关键指标上保持与最优解相当的精度；

（2）通过引入subQUBO方法，可有效突破量子比特数量的物理限制，实现在当前硬件条件下约50%规模扩容，为复杂电力系统问题的量子求解提供了可行路径；

（3）结合连通性检测与约束校验的后处理算法，有效弥补了量子计算中可能丢失的拓扑信息，使最终分区方案满足电力系统工程实际需求，验证了方法的实用性；

（4）子问题规模 $N_{M}$ 对求解效率与解的质量具有显著影响，应根据系统结构、约束复杂性以及硬件资源进行合理配置，以实现优化效果与计算开销之间的平衡。

以上结论基本验证了本文使用方法的先进性，论证了在大停电应急场景下，快速获取可行分区方案的能力具有显著的实际价值，也为量子计算在电力系统中的实际应用提供了重要参考。

当然，尽管本文在理论与实验上取得了阶段性成果，但量子计算在电力系统中的应用仍处于起步阶段，未来仍存在若干值得深入研究的开放性问题：

（1）开发专为电力系统问题优化的量子计算架构，如考虑电网拓扑特性的量子比特连接方式，可能进一步提升求解效率，当前通用量子计算机还未能充分利用电力网络的稀疏性和特定结构信息；

（2）subQUBO方法的子问题抽取策略仍有改进空间，未来可结合图神经网络、因果推断等方法提升关键变量识别的准确性，进一步增强经典-量子协同机制的智能化水平；

（3）实际量子计算过程中的噪声与误差控制问题依然突出，如何针对退相干、门误差等物理层面挑战，设计高效的纠错机制与稳健的后处理策略，亦是实现量子算法工程化的关键环节。

随着量子硬件性能的持续提升以及量子算法体系的不断演进，量子计算有望在电力系统状态估计、安全分析、经济调度等多个关键场景中发挥深远影响。本文提出的建模与求解方法不仅适用于电网分区问题，也具有良好的可拓展性，可推广至其他具有复杂约束与拓扑结构的网络优化问题中，具有重要的理论价值与工程应用前景。

原文链接：基于光量子计算机的电网停电后分区模型及量子比特扩容方法

1.1 量子计算介绍

1.2 相干光量子计算机

1.3 Ising（伊辛）模型＆QUBO模型

1.4 CIM求解组合优化问题过程

2.1 TSP实例教学

3.1 Kaiwu SDK

3.2 云服务&经典求解器

3.3 开源代码使用指南

3.4 新手教程

3.5 CIM求解组合优化问题的优势和方法

4.1 处理约束问题

4.2 调整惩罚系数

4.3 处理降次问题

5.1 适配参数精度（8bit整数）

5.2 量子＋经典算法

6.1 论文解读

量子＋运筹优化

生物制药

电力

6.2 优秀论文库

论文精读：基于光量子计算机的电网停电后分区模型及量子比特扩容方法

1. 背景介绍