论文精读：大规模MIMO波束选择问题的量子计算解决方案

概要： 随着大规模多输入多输出系统（MIMO）在5G及未来通信技术中的应用，波束选择问题（MBS）成为提升系统性能的关键。传统的波束选择方法面临计算复杂度高和计算资源不足的问题。本文提出了一种基于量子计算的解决方案，利用相干伊辛机（CIM）求解MIMO波束选择问题。通过将波束选择问题转化为QUBO模型，并映射到CIM物理设备，本文展示了量子计算在处理大规模组合优化问题中的潜力。 实验结果表明，CIM在精度和计算速度方面均显著优于如模拟退火、禁忌搜索等传统算法，，其计算速度提高了261.23倍和20.6倍。本文的研究为量子计算在通信领域中波束选择和稀疏优化问题的求解提供了一个实用的解决方案，展示了量子硬件在优化问题中的巨大潜力。

1. 文章背景

随着5G通信系统的不断发展，大规模MIMO（Massive MIMO） 技术作为一种革命性的无线传输技术，正在成为提升网络吞吐量和信号质量的关键技术。通过使用大量天线并利用波束赋形（beamforming），大规模MIMO可以同时提供多个数据流，从而显著提升数据传输速率和信号质量，进而改善蜂窝网络的覆盖范围和容量。然而，随着天线数量的增多，RF链路的数量也随之增加，导致硬件成本和功耗大幅上升。

为了解决这一问题，文章提出了波束选择（MIMO Beam Selection, MBS） 方法，通过在波束空间（beamspace）中进行波束选择，可以在不明显影响系统性能的情况下显著减少RF链路的数量，从而降低硬件成本和功耗。波束选择的核心任务是从所有可能的波束中选择一组波束，最大化网络的整体性能。然而，波束选择问题本质上是一个组合优化问题，尤其在5G系统中，存在大量的单元和天线组合，寻找最佳解非常困难。尽管有很多优化方法，如贪婪算法（Greedy Algorithm）、分支限界法（Branch-and-Bound）、模拟退火（Simulated Annealing, SA）等，但这些经典算法在处理大规模问题时常常面临计算成本过高、难以保证全局最优等问题。

量子计算被认为有潜力通过并行计算为大规模组合优化问题提供更快、更高效的解决方案。作者将波束选择问题转化为QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization） 模型，并利用CIM求解该模型，具体包括：

1. 提出有效的MBS求解方法：本文通过构建数学模型来解决MBS问题，该模型能有效利用大规模MIMO系统的性能潜力。与传统方法相比，所提出的模型不仅简洁优雅，而且能够显著降低QUBO模型所需的比特数，同时确保生成的解是最优的。
2. CIM实验验证：为了验证CIM在实际环境中的性能，文章通过在物理CIM系统上进行实验，展示了CIM能够在毫秒级的时间内生成最优解，体现了CIM在求解现实环境中的优化问题时的高效性和有效性。

相比经典算法，CIM通过并行化处理能力能够在较短的时间内寻找最优解，并且效率和求解质量上均显著优于经典的启发式算法。

2. MIMO波束选择问题

2.1 问题描述

在大规模MIMO系统中，波束选择问题（MBS） 的核心任务是通过选择最佳的波束集合来优化信号质量，从而提升网络的整体性能。MBS问题的目标是从多个小区中选择一定数量的波束，确保覆盖区域内的多个网格满足特定的信号强度要求。

图1 MBS问题的示意图

如图1所示，目标覆盖区域被划分为多个网格(grids)。每个网格代表一个小的地理区域，由一个或多个小区（即基站, cell）进行覆盖。每个小区发射多个MIMO波束(beams)，这些波束指的是由天线阵列发射的信号，通常每个波束代表一个特定方向的信号传输。

在MBS问题中，我们的任务是从每个小区的波束集合中选择若干个波束，以最大化满足特定约束条件的网格数量。一个网格被认为是“合格的”，如果该网格的最大接收信号强度（RSS） 超过设定的阈值，并且该最大RSS与第二大RSS之间的差值超过预设的值。那么，波束选择问题的优化目标就可以表述为：通过选择适当的波束组合，使得尽可能多的网格能够满足上述条件，即保证网格内的最大信号强度达到要求，同时避免不同波束之间的干扰。通过选择合适的波束，可以减少硬件消耗和功率消耗，同时提升网络的覆盖和容量。

主要变量设定如下：

• $n$ 为波束的数量
• $m$ 为网格的数量
• $v$ 为小区的数量，${\mathcal{V}}_i$ 为与第 $i$ 个网格相关的小区集合
• $s_{ijk}$ 为第 $i$ 个网格、第 $j$ 个小区、第 $k$ 个波束的RSS值

2.2 识别最大RSS ($c_{ij}$) 和 第二大RSS ($b_i$)

首先，定义最大接收信号强度（RSS），即在网格$i$和小区$j$中，所有波束的最大RSS值。这个最大值是由所有波束信号的强度决定的。公式如下：

$$M=\underset{1\le i\le m,j\in {\mathcal{V}}_i,1\le k\le n}{max}{s}_{ijk}$$

接下来，决策变量为 $x_{jk}$，表示在第 $j$ 个小区是否选择第 $k$ 个波束：

$$x_{jk}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果第 }j\text{ 个小区选择了第 }k\text{ 个波束}\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$

对于网格$i$和小区$j$的最大RSS（记作$c_{ij}$），它由所选择的波束来决定。选择的波束的接收信号强度$s_{ijk}$与决策变量$x_{jk}$的乘积表示该波束的贡献。最终的最大RSS值$c_{ij}$就是所有波束中最大值的结果，即：

$$c_{ij}=\underset{1\le k\le n}{max}{s}_{ijk}{x}_{jk}$$

对于网格$i$、小区$j$的最大RSS值$c_{ij}$，可以使用以下约束来确保其正确性：

$$\begin{array}{rlr}& c_{ij}\ge s_{ijk}{x}_{jk},& \mathrm{\forall }j\in {\mathcal{V}}_i,1\le k\le n\\ & c_{ij}\le s_{ijk}{x}_{jk}+(1-d_{ijk})M,& \mathrm{\forall }1\le k\le n\\ & \sum _{k=1}^n{d}_{ijk}=1,& \mathrm{\forall }j\in {\mathcal{V}}_i\end{array}$$

第一个约束确保$c_{ij}$至少等于所有波束信号强度$s_{ijk}$与决策变量$x_{jk}$的乘积中的最大值。也就是说，$c_{ij}$必须大于等于任何波束的贡献。第二个约束确保$c_{ij}$的值不会超过波束贡献的最大值加上一项由$d_{ijk}$决定的惩罚项。当$d_{ijk}=1$时，表示该波束被选择，从而确保最大RSS值$c_{ij}$被正确地选定。若$d_{ijk}=0$，则该波束不影响最大RSS以此确保$c_{ij}$是正确的最大RSS值。第三个约束确保对于每个网格$i$和小区$j$，仅有一个波束会影响最大RSS值，因此对每个$d_{ijk}$进行求和，确保只有一个波束的$d_{ijk}$等于 1。

最大RSS值$a_i$是网格$i$中所有小区的最大RSS值：

$$a_i=\underset{j\in {\mathcal{V}}_i}{max}{c}_{ij}$$

第二大RSS值$b_i$是网格$i$中所有小区的第二大RSS值，引入以下约束：

$$\begin{array}{rlr}& b_i\ge c_{ij}-p_{ij}M,& \mathrm{\forall }j\in {\mathcal{V}}_i\\ & b_i\le c_{ij}+(1-q_{ij})M,& \mathrm{\forall }j\in {\mathcal{V}}_i\\ & \sum _{j\in {\mathcal{V}}_i}{q}_{ij}=2,& q_{ij}\in \{0,1\}\end{array}$$

第一个约束确保第二大RSS值$b_i$不小于$c_{ij}$减去$p_{ij}$的惩罚项，这里的$p_{ij}$表示是否为最大RSS的值。如果$p_{ij}=1$，则$b_i$应该是第二大RSS。第二个约束确保$b_i$不大于$c_{ij}$加上一项由$q_{ij}$控制的惩罚项，$q_{ij}$控制是否为第二大RSS。第三个约束确保在网格$i$中有两个小区对应最大RSS和第二大RSS的选择，意味着$q_{ij}$的总和为2。

接下来，定义变量$z_i$来表示网格$i$是否满足以下两个条件：

1. 最大RSS大于或等于阈值${\delta }_1$，即$a_i\ge {\delta }_1$。
2. 最大RSS与第二大RSS之间的差值大于或等于阈值${\delta }_2$，即$a_i-b_i\ge {\delta }_2$。

2.3 构建优化问题

识别出最大和第二大的波束之后，回到MBS要解决的核心问题。MBS的最终目标是最大化网格$i$满足上述条件的数量，即最大化所有网格的$z_i$之和，即：

$$max\sum _{i=1}^m{z}_i$$

相应的约束条件为：

$$\begin{array}{rl}& {\delta }_1-a_i\le M(1-z_i)\\ & {\delta }_2-(a_i-b_i)\le M(1-z_i)\end{array}$$

以此确保当网格不满足条件时，$z_i$被强制设置为0，否则$z_i$为1。最后，选择的波束数目不能超过预定义的上限：

$$\sum _{k=1}^n{x}_{jk}\le r,\mathrm{\forall }1\le j\le v$$

由于波束选择问题是一个组合优化问题，且变量数量随着天线和小区的增加呈指数增长，因此，MBS问题是NP-hard的。

2.4 原优化问题转化为QUBO/Ising

为了解决包含约束的不等式问题，本文引入了松弛变量，将约束条件转化为等式，从而使得原问题可以表示为无约束的最小化问题。每个松弛变量可以表示为一个二进制展开的形式，定义为：

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \text{slack}=\sum _{t=0}^{\ell }{2}^t\cdot {\text{slack}}_t\end{array}$$

其中，${\text{slack}}_t$取值为0或1，$\ell$与松弛变量的范围有关。这里，$\ell =\lceil {\log }_{2}M\rceil$，因为所有的松弛变量都不超过$M$。通过引入这些松弛变量，原来的约束最大化问题被转化为了无约束最小化问题。最优解与原始约束最大化问题的最优解是相同的。

进一步，为求解无约束问题，文章使用了罚函数法，将约束违反程度的平方作为罚项加到目标函数中，从而转化为一个无约束的优化问题。具体的罚函数为：

$$\text{Penalty}=\lambda \cdot \sum _{\text{violations}}(\text{violation}{)}^2$$

其中，$\lambda$是控制罚项强度的参数，确保约束的违反程度最小。为了转换为QUBO模型，文章表示变量$a_i$、$b_i$和$c_{ij}$为整数变量，并使用二进制表示法表示它们：

$$a_i=\sum _{t=1}^{\ell }{2}^t\cdot a_{it},b_i=\sum _{t=1}^{\ell }{2}^t\cdot b_{it},c_{ij}=\sum _{t=1}^{\ell }{2}^t\cdot c_{ijt}$$

此时，问题已经转化为QUBO形式$min{f}_Q(x)=min{x}^{T}Qx$。其中，$Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是一个实值上三角矩阵，$f_Q:\{0,1{\}}^n\to \mathbb{R}$是一个二进制向量到实数的映射。

利用量子计算中的相干伊辛机（CIM），我们可以通过伊辛模型，以及调节参数来求解QUBO问题。伊辛模型与QUBO问题有着密切的关系。在伊辛模型中，系统的哈密顿量函数（Hamiltonian）表示为：

$$H(\sigma )=-\sum _{i,j}{J}_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j-\sum _i{h}_i{\sigma }_i$$

其中，${\sigma }_i$是取值为$-1$或$+1$的自旋变量，$J_{ij}$和$h_i$分别是二次和线性系数。通过替换${\sigma }_i\to 2x_i-1$，可以得到等效的QUBO问题。CIM利用可调的量子相变过程，从而在物理层面上实现优化，最终得到问题的最优解。

3. 简化模型与后处理

为了减少QUBO模型中比特的数量，文章提出了一种简化模型，仅考虑最大RSS值大于或等于阈值${\delta }_1$的约束条件，即$a_i\ge {\delta }_1$。与原始模型相比，简化模型简化了约束条件，目的是减少QUBO模型中的比特数，并降低计算复杂度。为了评估模型的有效性，文章利用CIM（相干伊辛机）返回的最佳100个解，从中选出符合原始模型约束的最佳可行解。在简化模型中，我们定义了一个新的RSS标记变量 ${\overline{s}}_{ijk}$，当 $s_{ijk}\ge {\delta }_1$ 时，${\overline{s}}_{ijk}=1$，否则 ${\overline{s}}_{ijk}=0$。简化模型可以通过以下形式来表示：

$$\begin{array}{}\text{(14)}& max\sum _{i=1}^m{z}_i\end{array}$$

其中$z_i$表示网格$i$是否满足要求。约束条件为：

$$\begin{array}{rlr}& z_i\le \sum _{j\in {\mathcal{V}}_i}\sum _{k=1}^n{x}_{jks}{\overline{s}}_{ijk},& \mathrm{\forall }1\le i\le m\\ & \sum _{k=1}^n{x}_{jk}\le r,& \mathrm{\forall }1\le j\le v\end{array}$$

其中第一个约束确保了$z_i=1$当且仅当网格$i$满足最大RSS大于或等于阈值${\delta }_1$。当所有$x_{jks}{\overline{s}}_{ijk}=0$时，表示没有选择满足阈值的RSS，$z_i$必须为0；如果存在某些$j$和$k$使得$x_{jks}{\overline{s}}_{ijk}=1$，则$z_i$为1。

接下来，我们将简化模型的目标函数转化为QUBO形式，方法是将上面两个约束引入松弛变量。简化模型的优化问题如下所示：

$$\begin{array}{rl}min-\sum _{i=1}^m{z}_i& +\lambda \cdot \sum _{i=1}^m{(z_i+{\text{slack}}_{1,i}-\sum _{j\in {\mathcal{V}}_i}\sum _{k=1}^n{x}_{jks}{\overline{s}}_{ijk})}^2\\ & +\lambda \cdot \sum _{j=1}^v{(\sum _{k=1}^n{x}_{jk}+{\text{slack}}_{2,j}-r)}^2\end{array}$$

这里，${\text{slack}}_{1,i}$和${\text{slack}}_{2,j}$是松弛变量，用于解决约束条件中的不等式，QUBO问题的规模被缩减，同时仍然保持了原始问题的解的最优性。这个简化模型相比于原始模型减少了比特数，使得QUBO模型的求解更加高效。该简化模型的变量数量为$m+nv+m\cdot \lceil {\log }_2(nv)\rceil +v\cdot \lceil {\log }_{2}r\rceil$，相较于原始模型，这种简化显著降低了计算复杂度，尤其是在大规模网络情况下具有明显优势。

4. 实验结果

在这一部分中，作者通过一系列实验评估了CIM在MIMO波束选择问题（MBS）中的可行性，重点比较了CIM物理机、模拟退火（SA）算法和禁忌搜索（Tabu Search）算法的性能。实验数据来自中国吉安市，通过测量4857个网格、217个小区和148个波束的信号强度，包含了1048575条数据记录。

实验假设波束数和小区数固定为5，而网格大小从5到10不等。所有六种设置的比特数都小于100，并选择这些设置来研究CIM物理机在不同网格大小下的性能，同时控制其他变量，进而转换成了一个著名的NP难问题——最大割（Max-Cut）问题。根据已知理论，伊辛模型在没有外加磁场的情况下找到最低能量态的问题可以重新表述为最大割问题。

图2 求解割值的演化过程

图2绘制了CIM在计算过程中得到的割值随时间变化的曲线。数据点显示了在CIM的中间阶段评估的割值。每两个数据点之间的时间间隔为2.11微秒。事实上，光纤环路中有211个振荡脉冲，脉冲之间的时间间隔为10纳秒，因此，光脉冲在环路中的传输时间为2.11微秒。从图中可以看出，随着时间的推移，割值逐渐增加，随着泵浦光功率逐渐增加并达到临界阈值，发生了相变。作者期望在最低能量附近找到最优解，图3中的红点标示了找到的最优解。在六种不同的设置中，CIM物理机分别进行了1940、361、1084、1057、1276和1377次循环，以找到最优解。相应的运行时间分别为4.096毫秒、0.764毫秒、2.289毫秒、2.232毫秒、2.694毫秒和2.908毫秒。

图3 CIM 物理机在m = 5时得到的结果

图3展示了CIM物理机在5个网格下的解。图中，蓝色节点代表自旋值为 +1，绿色节点代表自旋值为 -1。我们可以观察到，图中节点之间有许多连接边，几乎是全连接的，表明MBS问题具有高度复杂性。

表格I展示了CIM物理机与模拟退火（SA）算法和禁忌搜索（Tabu Search）算法的综合性能比较。在目标值方面，CIM物理机在所有案例中都取得了最好的目标函数值。对于每种算法，作者还进行了一百次重复实验，计算了找到可行解的平均时间，以及对应可行解的目标函数值。

表格I：CIM物理机、SA和Tabu Search在目标值和运行时间上的比较

网格数量	比特数量	CIM物理机时间	CIM目标值	哈密顿值	SA时间	SA目标值	Tabu时间	Tabu目标值
m = 5	61	4.096ms	-1636500253	-1636753751.5	134ms	2.07	13.7ms	1.8
m = 6	68	0.764ms	-1961998250	-1962503752	147ms	1.55	14.3ms	2.6
m = 7	75	2.289ms	-2286992748	-2288253752.5	131ms	1.87	17.3ms	2.94
m = 8	82	2.232ms	-2619998246	-2621753753	133ms	2.28	16.7ms	3.15
m = 9	89	2.694ms	-2899621246	-2963128752.5	139ms	2	20.2ms	3.04
m = 10	96	2.908ms	-3310865745	-3312378751	146ms	2.12	22ms	2.7

表格I显示了六种不同设置下，CIM物理机、SA和Tabu算法在运行时间和目标值方面的性能对比。可以看到，CIM在所有场景中都实现了最优的目标值，并且在计算时间上明显优于经典算法。为了评估CIM的性能，文章定义了效率比，即：

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\gamma }_{\text{CIM,sa/tabu}}=\frac{f_{\text{CIM}}/t_{\text{CIM}}}{f_{\text{sa/tabu}}/t_{\text{sa/tabu}}}\end{array}$$

效率比由两个部分组成：节省的时间和提高的精度。节省时间衡量了使用CIM相比传统方法节省的时间量，精度提高衡量了算法输出与正确解匹配的程度。较大的效率比意味着CIM的表现更好。从图4中可以看出，CIM相较于Tabu和SA，效率比提高了数十倍到数百倍。具体来说，CIM与Tabu的平均效率比为261.23，与SA的平均效率比为20.66。

图4 效率比随比特数的变化

5. 总结

本文提出了一种基于QUBO模型的新方法来解决MIMO波束选择问题（MBS），这一问题是5G系统中的关键问题之一。除了精心设计的模型，本文的贡献还包括成功应用CIM模拟器和物理机来求解MBS问题。实验结果表明，CIM求解器在准确性和速度方面超越了经典启发式算法，提供了数十到数百倍的性能提升。作者认为，所提出的解决方案在实际5G网络运营中具有巨大的潜力。

论文链接：

[1]ArXiv Version $$

[2]IEEE Published Version